Номер 29.8, страница 141 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

29.8. Необходимо изготовить сосуд емкостью 8 л, который имел бы форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием. Какое наименьшее количество материала потребуется на изготовление такого сосуда без крышки?

Для решения задачи введем переменные. Пусть сторона квадратного основания прямоугольного параллелепипеда равна a, а его высота равна h. Поскольку емкость дана в литрах, для удобства будем использовать дециметры (дм) в качестве единицы измерения длины, так как 1 л = 1 дм³.

Объем сосуда $V$ по условию равен 8 л, или 8 дм³. Формула для объема параллелепипеда с квадратным основанием:

$V = a^2 \cdot h$

Подставляя известное значение объема, получаем уравнение:

$a^2 h = 8$

Из этого уравнения можно выразить высоту h через сторону основания a:

$h = \frac{8}{a^2}$

Количество материала, необходимое для изготовления сосуда, — это площадь его поверхности $S$. Сосуд изготавливается без крышки, поэтому его поверхность состоит из площади основания и площади четырех боковых граней.

Площадь основания: $S_{осн} = a^2$.

Площадь боковой поверхности (четыре прямоугольника со сторонами a и h): $S_{бок} = 4ah$.

Общая площадь поверхности $S$:

$S = S_{осн} + S_{бок} = a^2 + 4ah$

Чтобы найти наименьшее количество материала, нужно минимизировать функцию $S$. Для этого выразим ее через одну переменную, подставив выражение для h:

$S(a) = a^2 + 4a \left(\frac{8}{a^2}\right) = a^2 + \frac{32}{a}$

Для нахождения минимума функции $S(a)$ найдем ее производную по переменной a и приравняем ее к нулю.

$S'(a) = \left(a^2 + \frac{32}{a}\right)' = 2a - \frac{32}{a^2}$

Найдем критические точки, решив уравнение $S'(a) = 0$:

$2a - \frac{32}{a^2} = 0$

$2a = \frac{32}{a^2}$

$2a^3 = 32$

$a^3 = 16$

$a = \sqrt[3]{16}$ дм

Проверим, является ли эта точка точкой минимума, с помощью второй производной:

$S''(a) = \left(2a - 32a^{-2}\right)' = 2 - 32(-2)a^{-3} = 2 + \frac{64}{a^3}$

Так как длина стороны $a$ должна быть положительной величиной, $a^3 > 0$, и, следовательно, $S''(a) > 0$. Это означает, что при $a = \sqrt[3]{16}$ функция $S(a)$ достигает своего минимума.

Теперь вычислим наименьшее количество материала (минимальную площадь поверхности), подставив найденное значение a в функцию $S(a)$:

$S_{min} = (\sqrt[3]{16})^2 + \frac{32}{\sqrt[3]{16}}$

Упростим это выражение. Зная, что $a = \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \cdot 2} = 2\sqrt[3]{2}$, найдем соответствующую высоту $h$:

$h = \frac{8}{a^2} = \frac{8}{(\sqrt[3]{16})^2} = \frac{8}{16^{2/3}} = \frac{2^3}{(2^4)^{2/3}} = \frac{2^3}{2^{8/3}} = 2^{3-\frac{8}{3}} = 2^{1/3} = \sqrt[3]{2}$ дм.

Подставим значения $a=2\sqrt[3]{2}$ и $h=\sqrt[3]{2}$ в формулу площади $S = a^2 + 4ah$:

$S_{min} = (2\sqrt[3]{2})^2 + 4(2\sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{2}) = 4\sqrt[3]{4} + 8(\sqrt[3]{2})^2 = 4\sqrt[3]{4} + 8\sqrt[3]{4} = 12\sqrt[3]{4}$

Какое наименьшее количество материала потребуется на изготовление такого сосуда без крышки? Ответ: $12\sqrt[3]{4}$ дм².