Номер 29.10, страница 142 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

29.10. Из квадратного листа жести со стороной 1 м надо сделать открытую сверху коробку прямоугольной формы, вырезав по углам квадраты и загнув образовавшиеся края (рис. 72). Найдите, какой должна быть высота коробки, чтобы ее объем был наибольшим.

Пусть сторона вырезаемого по углам квадрата равна $x$ м. Тогда высота получившейся коробки будет равна $x$ м. Поскольку изначальная сторона листа жести равна 1 м, то после вырезания квадратов со стороной $x$ из каждого угла, стороны основания коробки будут равны $(1 - 2x)$ м. Основание коробки будет квадратным.

Объем коробки $V$ вычисляется как произведение площади основания на высоту: $V(x) = (1 - 2x)^2 \cdot x$

Сторона вырезаемого квадрата $x$ должна быть положительной, а также сторона основания $(1 - 2x)$ должна быть положительной. Это дает нам ограничения на $x$: $x > 0$ и $1 - 2x > 0 \implies 2x < 1 \implies x < \frac{1}{2}$. Таким образом, мы ищем максимальное значение функции $V(x)$ на интервале $(0; \frac{1}{2})$.

Раскроем скобки в выражении для объема, чтобы было удобнее находить производную: $V(x) = (1 - 4x + 4x^2) \cdot x = 4x^3 - 4x^2 + x$

Для нахождения точки максимума найдем производную функции объема по $x$: $V'(x) = (4x^3 - 4x^2 + x)' = 12x^2 - 8x + 1$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $12x^2 - 8x + 1 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 12 \cdot 1 = 64 - 48 = 16$ Найдем корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 12} = \frac{8 \pm 4}{24}$ $x_1 = \frac{8 + 4}{24} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$ $x_2 = \frac{8 - 4}{24} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}$

Теперь проанализируем найденные критические точки. Корень $x_1 = \frac{1}{2}$ не принадлежит рассматриваемому интервалу $(0; \frac{1}{2})$, так как является его границей. При $x = \frac{1}{2}$ сторона основания коробки равна нулю, следовательно, объем равен нулю, что является минимумом, а не максимумом.

Корень $x_2 = \frac{1}{6}$ принадлежит интервалу $(0; \frac{1}{2})$, поэтому он является точкой возможного экстремума. Чтобы определить, является ли эта точка точкой максимума, воспользуемся второй производной: $V''(x) = (12x^2 - 8x + 1)' = 24x - 8$ Подставим значение $x = \frac{1}{6}$ в выражение для второй производной: $V''(\frac{1}{6}) = 24 \cdot \frac{1}{6} - 8 = 4 - 8 = -4$ Так как вторая производная в точке $x = \frac{1}{6}$ отрицательна ($V''(\frac{1}{6}) < 0$), то эта точка является точкой локального максимума функции объема.

Найдите, какой должна быть высота коробки, чтобы ее объем был наибольшим. Ответ: для получения коробки наибольшего объема, ее высота должна быть равна $\frac{1}{6}$ м.