Номер 31.7, страница 158 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

31.7. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 4, 5, 6, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?

Для решения этой задачи необходимо определить, сколько уникальных двузначных чисел можно составить из набора цифр {4, 5, 6}. Условие "используя в записи числа каждую из них не более одного раза" означает, что цифры в числе не должны повторяться.

Эта задача относится к разделу комбинаторики и может быть решена несколькими способами.

Способ 1: Использование правила произведения

Двузначное число состоит из двух позиций: разряда десятков и разряда единиц.

1. На первую позицию (разряд десятков) мы можем выбрать любую из трех данных цифр (4, 5 или 6). Таким образом, у нас есть 3 варианта.

2. После того как первая цифра выбрана, для второй позиции (разряд единиц) у нас остается на одну цифру меньше, так как цифры не могут повторяться. Следовательно, для выбора второй цифры остается $3 - 1 = 2$ варианта.

Общее количество возможных чисел равно произведению числа вариантов для каждой позиции: $3 \times 2 = 6$.

Способ 2: Использование формулы размещений

Количество способов выбрать и разместить $k$ элементов из множества $n$ различных элементов без повторений называется числом размещений и вычисляется по формуле:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашем случае общее количество доступных цифр $n=3$, и мы составляем из них двузначные числа, то есть выбираем по $k=2$ цифры.

$A_3^2 = \frac{3!}{(3-2)!} = \frac{3!}{1!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{1} = 6$.

Способ 3: Прямой перебор

Мы можем просто выписать все возможные числа, удовлетворяющие условию:

45, 46

54, 56

64, 65

Подсчитав количество этих чисел, мы также получаем 6.

Ответ: 6