Номер 31.14, страница 159 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

31.14. Имеется 6 видов ягод. Для приготовления компота берут 3 вида ягод. Сколько различных вариантов компота можно приготовить?

Эта задача относится к разделу комбинаторики и решается с помощью формулы для числа сочетаний. Поскольку порядок выбора ягод для компота не имеет значения (компот из ягод A, B, C будет таким же, как из ягод C, A, B), мы должны найти количество сочетаний из 6 элементов по 3.

Формула для нахождения числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ выглядит следующим образом:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
где $n!$ (n-факториал) – это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$.

В условиях задачи дано:
- Общее количество видов ягод $n = 6$.
- Количество видов ягод для компота $k = 3$.

Подставляем эти значения в формулу:
$C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3! \cdot 3!}$

Распишем факториалы и произведем вычисления:
$C_6^3 = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot (3 \cdot 2 \cdot 1)} = \frac{720}{6 \cdot 6} = \frac{720}{36} = 20$

Для удобства вычислений можно сократить дробь:
$C_6^3 = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{120}{6} = 20$

Таким образом, существует 20 различных способов выбрать 3 вида ягод из 6 для приготовления компота.

31.14. Ответ: 20