Номер 31.8, страница 158 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

31.8. Сколькими способами можно составить код, содержащий одну из букв a, b, c, d и одну из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

Для того чтобы определить, сколькими способами можно составить код, необходимо использовать правило умножения в комбинаторике.

Исходные данные для составления кода:
- Набор букв: $\{a, b, c, d\}$. Количество возможных букв для выбора равно 4.
- Набор цифр: $\{1, 2, 3, 4, 5\}$. Количество возможных цифр для выбора равно 5.

Код должен содержать одну букву и одну цифру, то есть он будет состоять из двух символов. Поскольку порядок символов в коде важен (например, код «a1» и код «1a» являются разными), мы должны учесть все возможные расстановки.

Процесс составления кода можно разбить на два этапа:

1. Выбор пары символов. Мы выбираем одну букву из 4 и одну цифру из 5. Количество таких уникальных пар по правилу умножения равно:
$4 \times 5 = 20$ пар.

2. Расстановка символов в паре. Для каждой выбранной пары (например, для пары $\{a, 1\}$) существует два варианта расположения символов. Буква может стоять на первом месте, а цифра на втором («a1»), или наоборот, цифра на первом, а буква на втором («1a»). Количество перестановок двух различных элементов равно $2! = 2$.

Чтобы найти общее количество возможных кодов, нужно умножить количество уникальных пар на количество перестановок внутри каждой пары:
$N_{общ} = (\text{количество пар}) \times (\text{количество перестановок в паре}) = (4 \times 5) \times 2 = 20 \times 2 = 40$.

Ответ: 40.