Номер 31.13, страница 159 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

31.13. Сколькими способами можно выбрать набор из трех разных ручек, если есть 4 вида шариковых, 5 видов капиллярных и 3 вида гелевых ручек?

31.13. Для того чтобы найти количество способов выбрать набор из трех разных ручек, необходимо сначала определить общее количество ручек, из которых будет производиться выбор. Затем, поскольку порядок выбора ручек в наборе не имеет значения, следует использовать формулу для числа сочетаний.

Сначала найдем общее количество ручек. В наличии есть 4 вида шариковых, 5 видов капиллярных и 3 вида гелевых ручек. Таким образом, общее число различных ручек, доступных для выбора, равно:$n = 4 + 5 + 3 = 12$.

Далее, нужно найти количество способов выбрать 3 ручки из 12. Это является задачей на сочетания, так как набор ручек не зависит от порядка, в котором их выбирали. Формула для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ выглядит следующим образом:$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данном случае общее количество элементов $n=12$, а количество элементов в выборке $k=3$. Подставим эти значения в формулу:$C_{12}^3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3!9!}$

Распишем факториалы и выполним вычисление:$C_{12}^3 = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9!}{3 \times 2 \times 1 \times 9!} = \frac{12 \times 11 \times 10}{6} = \frac{1320}{6} = 220$.

Таким образом, существует 220 способов выбрать набор из трех разных ручек. Ответ: 220