Номер 31.16, страница 159 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

31.16. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?

31.16. Данная задача решается с помощью методов комбинаторики. Необходимо найти количество трехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, при условии, что каждая цифра в записи числа используется не более одного раза. Это задача на нахождение числа размещений без повторений.

Способ 1: Использование правила произведения.
Трехзначное число состоит из трех позиций: сотен, десятков и единиц.
На первую позицию (сотни) можно поставить любую из четырех данных цифр. Следовательно, имеется 4 варианта.
Поскольку цифры в числе не должны повторяться, на вторую позицию (десятки) можно поставить любую из оставшихся 3 цифр. Следовательно, имеется 3 варианта.
Аналогично, на третью позицию (единицы) можно поставить любую из оставшихся 2 цифр. Следовательно, имеется 2 варианта.
Общее количество возможных чисел равно произведению числа вариантов для каждой позиции:
$4 \times 3 \times 2 = 24$

Способ 2: Использование формулы для числа размещений.
Число размещений без повторений из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$
В нашем случае общее число доступных цифр $n=4$, а мы составляем из них трехзначные числа, то есть $k=3$.
Подставим значения в формулу:
$A_4^3 = \frac{4!}{(4-3)!} = \frac{4!}{1!} = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

Таким образом, из данных цифр можно составить 24 различных трехзначных числа.
Ответ: 24