Номер 31.23, страница 159 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

31.23. На международной конференции среди 300 участников несколько человек знают китайский язык. Среди всех остальных — 100 знают английский и французский, 150 — английский и русский, 25 — русский, французский и английский. Сколько участников конференции знают китайский язык?

Для решения этой задачи воспользуемся теорией множеств и принципом включения-исключения. Обозначим:

• $U$ — множество всех участников конференции. По условию, $|U| = 300$.
• $K$ — множество участников, знающих китайский язык. Это искомая величина.
• $O$ — множество всех остальных участников, то есть тех, кто не знает китайский язык. Очевидно, что $|U| = |K| + |O|$.

Далее рассмотрим подмножества участников из группы $O$ (тех, кто не знает китайский):

• $A$ — множество участников из группы $O$, знающих английский язык.
• $F$ — множество участников из группы $O$, знающих французский язык.
• $R$ — множество участников из группы $O$, знающих русский язык.

Из условия задачи нам известны размеры пересечений этих множеств:

• Число участников, знающих английский и французский: $|A \cap F| = 100$.
• Число участников, знающих английский и русский: $|A \cap R| = 150$.
• Число участников, знающих все три языка (английский, французский и русский): $|A \cap F \cap R| = 25$.

Нам нужно найти общее число участников, которые не знают китайский язык ($|O|$). Эта группа должна включать всех, кто удовлетворяет перечисленным условиям. Мы можем найти количество уникальных участников, которые знают английский и французский или английский и русский. Это соответствует объединению множеств $(A \cap F)$ и $(A \cap R)$.

Используем формулу включения-исключения для двух множеств: $|X \cup Y| = |X| + |Y| - |X \cap Y|$.

В нашем случае $X = A \cap F$ и $Y = A \cap R$. Их пересечение — это $(A \cap F) \cap (A \cap R) = A \cap F \cap R$.

Тогда число участников, не знающих китайский и входящих хотя бы в одну из этих групп, равно:

$|(A \cap F) \cup (A \cap R)| = |A \cap F| + |A \cap R| - |A \cap F \cap R|$

Подставим известные значения:

$|O| \ge 100 + 150 - 25 = 225$

Таким образом, минимальное количество участников, не знающих китайский язык, составляет 225 человек. Поскольку в задаче требуется найти конкретное число, мы предполагаем, что группа "остальных" состоит именно из этих участников.

Теперь мы можем найти количество участников, знающих китайский язык:

$|K| = |U| - |O| = 300 - 225 = 75$

Сколько участников конференции знают китайский язык? Ответ: 75.