Номер 31.26, страница 160 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

31.26. Сколько среди первых 100 натуральных чисел не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 5?

Для решения этой задачи используется принцип включений-исключений. Нам нужно найти количество чисел в множестве от 1 до 100, которые не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 5. Алгоритм решения следующий: сначала мы найдем, сколько чисел делится хотя бы на одно из этих чисел, а затем вычтем это количество из 100.

Количество чисел, которые делятся хотя бы на одно из чисел 2, 3 или 5, находится по формуле:
$N = N(2) + N(3) + N(5) - (N(2,3) + N(2,5) + N(3,5)) + N(2,3,5)$
где $N(k)$ — количество чисел, делящихся на $k$, а $N(a,b,...)$ — количество чисел, делящихся на $a$, $b$, ... одновременно.

Шаг 1: Найдем количество чисел, делящихся на 2, 3 и 5 по отдельности.
Количество чисел, делящихся на 2: $|A_2| = \lfloor\frac{100}{2}\rfloor = 50$.
Количество чисел, делящихся на 3: $|A_3| = \lfloor\frac{100}{3}\rfloor = 33$.
Количество чисел, делящихся на 5: $|A_5| = \lfloor\frac{100}{5}\rfloor = 20$.

Шаг 2: Найдем количество чисел, делящихся на пары (2 и 3), (2 и 5), (3 и 5).
Числа, делящиеся на 2 и 3, делятся на их наименьшее общее кратное, то есть 6.
$|A_2 \cap A_3| = \lfloor\frac{100}{6}\rfloor = 16$.
Числа, делящиеся на 2 и 5, делятся на 10.
$|A_2 \cap A_5| = \lfloor\frac{100}{10}\rfloor = 10$.
Числа, делящиеся на 3 и 5, делятся на 15.
$|A_3 \cap A_5| = \lfloor\frac{100}{15}\rfloor = 6$.

Шаг 3: Найдем количество чисел, делящихся на 2, 3 и 5 одновременно.
Числа, делящиеся на 2, 3 и 5, делятся на их наименьшее общее кратное, то есть 30.
$|A_2 \cap A_3 \cap A_5| = \lfloor\frac{100}{30}\rfloor = 3$.

Шаг 4: Применим формулу включений-исключений.
Теперь подставим все найденные значения в формулу, чтобы найти общее количество чисел, делящихся хотя бы на одно из чисел 2, 3 или 5:
$N_{дел} = (50 + 33 + 20) - (16 + 10 + 6) + 3$
$N_{дел} = 103 - 32 + 3 = 74$.
Таким образом, 74 числа из первых 100 делятся на 2, или на 3, или на 5.

Шаг 5: Найдем итоговый ответ.
Чтобы найти количество чисел, которые не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 5, вычтем полученное число из общего количества чисел:
$100 - 74 = 26$.

Сколько среди первых 100 натуральных чисел не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 5? Ответ: 26.