Номер 32.5, страница 165 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

32.5. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 0 так, чтобы все цифры участвовали в записи?

Для того чтобы составить четырехзначное число из цифр 1, 3, 5, 0 так, чтобы все цифры участвовали в записи, необходимо найти количество перестановок этих четырех цифр с одним важным ограничением: число не может начинаться с нуля, иначе оно не будет четырехзначным.

Для решения этой задачи можно использовать комбинаторный подход. Рассмотрим, сколько вариантов есть для каждой из четырех позиций в числе:

На первую позицию (разряд тысяч) можно поставить любую из заданных цифр, кроме 0. Таким образом, есть 3 варианта: 1, 3 или 5.

После того как первая цифра выбрана, для второй позиции (разряда сотен) остаются три цифры (включая 0). Следовательно, для второй цифры есть 3 варианта.

Для третьей позиции (разряда десятков) остаются две неиспользованные цифры, то есть 2 варианта.

Для последней, четвертой позиции (разряда единиц), остается только одна цифра, то есть 1 вариант.

Чтобы найти общее количество возможных четырехзначных чисел, необходимо перемножить количество вариантов для каждой позиции:

Количество чисел = $3 \times 3 \times 2 \times 1 = 18$.

Другой способ решения — через вычисление перестановок. Общее количество способов расставить 4 разные цифры — это число перестановок из 4 элементов, которое равно $P_4 = 4!$.

$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

Из этого числа нужно исключить те варианты, где на первом месте стоит 0, так как они не являются четырехзначными числами. Если 0 стоит на первом месте, то оставшиеся 3 цифры {1, 3, 5} можно расставить на трех местах $P_3 = 3!$ способами.

$P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

Таким образом, количество "неправильных" комбинаций равно 6. Вычитаем их из общего числа перестановок:

$24 - 6 = 18$.

325. Ответ: 18