Номер 31.25, страница 160 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

31.25. Сколько среди первых 100 натуральных чисел не делятся ни на 2, ни на 3?

Чтобы найти количество натуральных чисел от 1 до 100, которые не делятся ни на 2, ни на 3, мы используем принцип включений-исключений. Всего у нас 100 чисел.

Сначала найдем количество чисел, которые делятся на 2. Для этого выполним целочисленное деление 100 на 2:
$N(2) = \lfloor \frac{100}{2} \rfloor = 50$ чисел.

Затем найдем количество чисел, которые делятся на 3:
$N(3) = \lfloor \frac{100}{3} \rfloor = 33$ числа.

При простом вычитании из 100 чисел, кратных 2 и 3, мы дважды вычтем те, что делятся и на 2, и на 3 одновременно. Такие числа делятся на их наименьшее общее кратное, то есть на $2 \times 3 = 6$. Найдем их количество:
$N(6) = \lfloor \frac{100}{6} \rfloor = 16$ чисел.

Теперь найдем общее количество чисел, которые делятся хотя бы на одно из чисел (на 2 или на 3). По формуле включений-исключений, оно равно сумме количеств чисел, делящихся на 2 и на 3, минус количество чисел, делящихся на 6 (так как мы их посчитали дважды):
$N(2 \text{ или } 3) = N(2) + N(3) - N(6) = 50 + 33 - 16 = 67$ чисел.

Таким образом, 67 чисел из первых 100 делятся на 2 или на 3. Чтобы найти количество чисел, которые не делятся ни на 2, ни на 3, нужно вычесть это количество из общего числа чисел (100):
$100 - 67 = 33$ числа.

Ответ: 33