Номер 31.22, страница 159 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

31.22. В классе 25 человек, 15 из них занимаются спортом, а 13 человек занимаются музыкой. Сколькими способами можно выбрать спортсмена на соревнование, если в это же время проходит музыкальный конкурс?

Для решения этой задачи воспользуемся теорией множеств. Пусть $N$ — общее количество учеников в классе, $S$ — множество учеников, занимающихся спортом, и $M$ — множество учеников, занимающихся музыкой.
Дано:

• Общее число учеников: $|N| = 25$
• Количество спортсменов: $|S| = 15$
• Количество музыкантов: $|M| = 13$

Сначала необходимо найти количество учеников, которые занимаются и спортом, и музыкой одновременно. Это пересечение множеств $S$ и $M$, обозначаемое как $|S \cap M|$. Если мы просто сложим количество спортсменов и музыкантов, мы получим:
$|S| + |M| = 15 + 13 = 28$
Эта сумма больше, чем общее количество учеников в классе ($28 > 25$). Разница между этими числами и есть количество учеников, которых мы посчитали дважды, то есть тех, кто входит в обе группы.

Найдем количество учеников, которые занимаются и спортом, и музыкой:
$|S \cap M| = (|S| + |M|) - |S \cup M|$
Предполагая, что все ученики вовлечены хотя бы в один из кружков (что является стандартным допущением в таких задачах, когда сумма превышает общее количество), $|S \cup M| = 25$.
$|S \cap M| = (15 + 13) - 25 = 28 - 25 = 3$
Следовательно, 3 ученика занимаются и спортом, и музыкой.

По условию, спортивное соревнование и музыкальный конкурс проходят в одно и то же время. Это значит, что для участия в соревновании можно выбрать только тех спортсменов, которые не занимаются музыкой. То есть, мы должны исключить из множества спортсменов тех, кто также является музыкантом.

Количество спортсменов, которых можно отправить на соревнование, равно общему числу спортсменов минус число спортсменов, которые также занимаются музыкой:
Количество доступных спортсменов = $|S| - |S \cap M| = 15 - 3 = 12$

Сколькими способами можно выбрать спортсмена на соревнование, если в это же время проходит музыкальный конкурс? Ответ: 12