Номер 32.9, страница 166 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

32.9. Сколькими способами можно выбрать 3 книги для призов за первое, второе и третье место в олимпиаде из 10 различных книг?

Для решения этой задачи нужно определить количество способов выбрать 3 книги из 10 и распределить их по трем призовым местам. Поскольку призовые места (первое, второе и третье) различны, порядок выбора книг имеет значение. Это означает, что мы имеем дело с размещениями без повторений.

Способ 1: Использование правила произведения.
Мы можем рассуждать последовательно:
- Книгу для приза за первое место можно выбрать $10$ способами.
- После того как выбрана книга для первого места, для второго места остается $9$ различных книг. Следовательно, книгу для второго места можно выбрать $9$ способами.
- Аналогично, для третьего места остается $8$ книг, то есть существует $8$ способов выбрать приз.
Чтобы найти общее количество способов, нужно перемножить число вариантов для каждого шага:
$10 \times 9 \times 8 = 720$

Способ 2: Использование формулы для числа размещений.
Число размещений из $n$ элементов по $k$ обозначается $A_n^k$ и вычисляется по формуле:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$
В нашей задаче общее количество книг $n=10$, а количество призовых мест $k=3$. Подставим эти значения в формулу:
$A_{10}^3 = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!}$
Раскроем факториалы и сократим дробь:
$A_{10}^3 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720$

32.9. Ответ: 720