Номер 32.13, страница 166 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

32.13. Сколько различных четырехцветных флажков можно получить из шести различных горизонтальных цветных полос, если при этом две из них (синяя и красная) не должны быть рядом?

32.13. Для решения этой задачи воспользуемся методом от противного (принципом исключения). Сначала найдем общее количество всех возможных флажков, а затем вычтем из этого числа количество флажков, у которых синяя и красная полосы расположены рядом.

Общее количество способов составить четырехцветный флажок из шести различных цветов — это число размещений из 6 элементов по 4, так как важен порядок цветов. Оно вычисляется по формуле:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашем случае $n=6$ и $k=4$:

$A_6^4 = \frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$

Теперь найдем количество флажков, где синяя и красная полосы находятся рядом. Будем рассматривать эти две полосы как единый блок. Этот блок может быть в двух вариантах: "синяя-красная" или "красная-синяя".

Во флаге из 4 полос такой двойной блок может занимать 3 положения: места (1,2), (2,3) или (3,4). На оставшиеся 2 места нужно разместить 2 цвета из оставшихся $6-2=4$ цветов. Количество способов сделать это равно числу размещений из 4 по 2:

$A_4^2 = \frac{4!}{(4-2)!} = 4 \times 3 = 12$

Таким образом, количество "нежелательных" флажков равно произведению числа положений блока, числа перестановок внутри блока и числа способов разместить оставшиеся цвета:

$3 \times 2 \times 12 = 72$

Наконец, чтобы найти количество флажков, где синяя и красная полосы не находятся рядом, вычтем из общего числа флажков количество "нежелательных":

$360 - 72 = 288$

Ответ: 288