Номер 33.5, страница 170 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

33.5. В подразделении 60 солдат и 5 офицеров. Сколькими способами можно выбрать из них четырех солдат и двух офицеров для несения караула?

$\binom{60}{4} \times \binom{5}{2}$

Для решения этой задачи необходимо использовать комбинаторику, поскольку порядок, в котором выбирают солдат и офицеров для караула, не важен. Мы будем использовать формулу для числа сочетаний, которая определяет, сколькими способами можно выбрать $k$ элементов из множества, содержащего $n$ элементов.

Формула для числа сочетаний:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Чтобы найти общее количество способов, нужно сначала вычислить количество способов выбора солдат и офицеров по отдельности, а затем перемножить эти результаты в соответствии с правилом произведения в комбинаторике.

Выбор четырех солдат

Найдем количество способов выбрать 4 солдат из 60. В данном случае $n=60$, а $k=4$.

$C_{60}^4 = \frac{60!}{4!(60-4)!} = \frac{60!}{4! \cdot 56!} = \frac{60 \cdot 59 \cdot 58 \cdot 57}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{19505580}{24}$

Ответ: 487635

Выбор двух офицеров

Теперь найдем количество способов выбрать 2 офицеров из 5. В этом случае $n=5$, а $k=2$.

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2}$

Ответ: 10

Общее количество способов сформировать караул

Чтобы найти итоговое количество способов, перемножим количество способов выбора солдат и количество способов выбора офицеров:

$N = C_{60}^4 \times C_5^2 = 487635 \times 10 = 4876350$

Ответ: 4876350