Номер 33.4, страница 170 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

33.4. Сколько существует разносторонних треугольников, длины сторон которых принимают следующие значения: 4, 5, 6, 7?

Для того чтобы определить, сколько существует разносторонних треугольников с заданными длинами сторон, необходимо выполнить два основных шага: найти все возможные комбинации сторон и проверить для каждой из них выполнение неравенства треугольника.

Разносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны имеют разную длину.

1. Поиск всех комбинаций сторон.

Нам дан набор длин: {4, 5, 6, 7}. Требуется выбрать 3 различные длины из этого набора. Количество таких комбинаций можно рассчитать с помощью формулы сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n=4$ (общее количество доступных длин) и $k=3$ (количество сторон в треугольнике).

$C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3! \cdot 1!} = 4$

Таким образом, существует 4 уникальных набора длин сторон:

• {4, 5, 6}
• {4, 5, 7}
• {4, 6, 7}
• {5, 6, 7}

2. Проверка неравенства треугольника.

Согласно неравенству треугольника, сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны. На практике достаточно проверить, выполняется ли это условие для двух самых коротких сторон по отношению к самой длинной стороне.

• Для набора {4, 5, 6}: проверяем $4 + 5 > 6 \implies 9 > 6$. Условие выполняется.
• Для набора {4, 5, 7}: проверяем $4 + 5 > 7 \implies 9 > 7$. Условие выполняется.
• Для набора {4, 6, 7}: проверяем $4 + 6 > 7 \implies 10 > 7$. Условие выполняется.
• Для набора {5, 6, 7}: проверяем $5 + 6 > 7 \implies 11 > 7$. Условие выполняется.

Все четыре комбинации длин сторон удовлетворяют неравенству треугольника. Следовательно, каждая из них может образовать треугольник. Так как в каждой комбинации все стороны имеют разную длину, все четыре треугольника являются разносторонними.

Сколько существует разносторонних треугольников, длины сторон которых принимают следующие значения: 4, 5, 6, 7? Ответ: 4