Номер 33.11, страница 171 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

33.11. Сколько различных аккордов можно взять из десяти выбранных клавиш рояля, если каждый аккорд может содержать от трех до десяти звуков?

Для решения этой задачи мы используем комбинаторику, поскольку аккорд представляет собой набор звуков, где порядок их выбора не важен. Нам нужно найти количество способов выбрать от 3 до 10 клавиш из 10 доступных. Это эквивалентно нахождению суммы числа сочетаний.

Общее количество различных аккордов $N$ будет равно сумме числа аккордов из 3 звуков, 4 звуков, и так далее, до 10 звуков. Формула для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ элементов выглядит так: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Таким образом, нам необходимо вычислить сумму:$N = C_{10}^3 + C_{10}^4 + C_{10}^5 + C_{10}^6 + C_{10}^7 + C_{10}^8 + C_{10}^9 + C_{10}^{10}$

Чтобы упростить вычисления, можно использовать свойство биномиальных коэффициентов. Сумма всех возможных сочетаний из $n$ элементов (от 0 до $n$) равна $2^n$:$\sum_{k=0}^{n} C_n^k = C_n^0 + C_n^1 + \dots + C_n^n = 2^n$

Для нашего случая $n=10$, поэтому общее число всех возможных подмножеств клавиш равно:$\sum_{k=0}^{10} C_{10}^k = 2^{10} = 1024$

Из этой общей суммы нам нужно вычесть те случаи, которые не удовлетворяют условию задачи, то есть аккорды, содержащие 0, 1 или 2 звука.$N = \sum_{k=0}^{10} C_{10}^k - (C_{10}^0 + C_{10}^1 + C_{10}^2)$

Вычислим значения для $C_{10}^0$, $C_{10}^1$ и $C_{10}^2$:
Количество способов выбрать 0 звуков: $C_{10}^0 = 1$
Количество способов выбрать 1 звук: $C_{10}^1 = \frac{10!}{1!(10-1)!} = 10$
Количество способов выбрать 2 звука: $C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45$

Сумма этих "неподходящих" сочетаний равна:$1 + 10 + 45 = 56$

33.11. Теперь вычтем эту сумму из общего числа всех сочетаний, чтобы найти искомое количество аккордов:$N = 1024 - 56 = 968$. Ответ: 968