Номер 34.5, страница 175 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

34.5. Если $A_n$ имеет вид $1^3 + 3^3 + 5^3 + \ldots + (2n - 1)^3 = n^2 (2n^2 - 1)$, то $A_{k+1}$:

а) $1^3 + 3^3 + 5^3 + \ldots + (2k)^3 = k^2 (2k^2 + 1)$;

б) $1^3 + 3^3 + 5^3 + \ldots + (2k)^3 = (k + 1)^2 (2k^2 + 1)$;

в) $1^3 + 3^3 + 5^3 + \ldots + (2k)^3 = (k + 1)^2 (2k^2 + 2)$;

г) $1^3 + 3^3 + 5^3 + \ldots + (2k + 1)^3 = (k + 1)^2 (2(k + 1)^2 + 1)$.

Выберите правильный ответ.

Для решения этой задачи нам нужно определить, как будет выглядеть утверждение $A_{k+1}$, если утверждение $A_n$ имеет заданный вид. Это стандартный шаг в методе математической индукции.

Дано утверждение $A_n$:

$A_n: 1^3 + 3^3 + 5^3 + \dots + (2n-1)^3 = n^2(2n^2 - 1)$

Чтобы найти вид утверждения $A_{k+1}$, мы должны заменить в формуле для $A_n$ переменную $n$ на $k+1$.

Левая часть утверждения $A_{k+1}$ будет представлять собой сумму кубов первых $k+1$ нечётных чисел. Общий вид нечётного числа — $2n-1$. Для $n=k+1$ получаем последний член суммы: $2(k+1)-1 = 2k+2-1=2k+1$. Таким образом, левая часть будет выглядеть так:

$1^3 + 3^3 + 5^3 + \dots + (2k-1)^3 + (2k+1)^3$

Правая часть утверждения $A_{k+1}$ получается заменой $n$ на $k+1$ в выражении $n^2(2n^2 - 1)$:

$(k+1)^2(2(k+1)^2 - 1)$

Следовательно, полное и правильное утверждение $A_{k+1}$ имеет вид:

$A_{k+1}: 1^3 + 3^3 + 5^3 + \dots + (2k+1)^3 = (k+1)^2(2(k+1)^2 - 1)$

Теперь давайте проанализируем каждый из предложенных вариантов.

Левая часть этого равенства содержит член $(2k)^3$. Число $2k$ является чётным, в то время как исходная сумма $A_n$ состоит из кубов нечётных чисел вида $(2n-1)$. Таким образом, структура суммы нарушена. Ответ: Неверно.

Как и в предыдущем варианте, левая часть содержит куб чётного числа $(2k)^3$, что не соответствует определению последовательности $A_n$. Ответ: Неверно.

Этот вариант также неверен по той же причине, что и варианты а) и б): наличие члена $(2k)^3$ в сумме кубов нечётных чисел. Ответ: Неверно.

Левая часть этого равенства, $1^3 + 3^3 + \dots + (2k+1)^3$, полностью совпадает с левой частью правильного утверждения $A_{k+1}$. Правая часть, $(k+1)^2(2(k+1)^2 + 1)$, отличается от правильной, $(k+1)^2(2(k+1)^2 - 1)$, только знаком перед единицей в последней скобке. Учитывая, что левые части в вариантах а), б) и в) принципиально неверны, а в варианте г) левая часть верна, можно заключить, что в правой части допущена опечатка, и этот вариант является предполагаемым правильным ответом. Ответ: Верно (наиболее подходящий вариант, несмотря на опечатку).