Номер 34.10, страница 177 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

34.10. Если $A_n$ имеет вид $2^n > 2n + 7$, то $A_{k+1}$:

а) $2 \cdot 2^k > 2k + 8;$

б) $2^{k+1} > 2k + 8;$

в) $2^{k+1} > 2k + 9;$

г) $2 \cdot 2^{k+1} > 2k + 9.$

Выберите правильный ответ.

Данное задание относится к теме математической индукции, где требуется сформулировать утверждение для шага $k+1$, если известно утверждение для шага $n$.

Исходное утверждение, обозначенное как $A_n$, имеет вид:

$A_n: 2^n > 2n + 7$

Чтобы найти вид утверждения $A_{k+1}$, мы должны заменить каждый экземпляр переменной $n$ в выражении $A_n$ на $k+1$.

1. Заменим $n$ на $k+1$ в левой части неравенства $2^n$:

$2^n \rightarrow 2^{k+1}$

2. Заменим $n$ на $k+1$ в правой части неравенства $2n + 7$:

$2n + 7 \rightarrow 2(k+1) + 7$

3. Теперь упростим полученное выражение для правой части:

$2(k+1) + 7 = 2k + 2 \cdot 1 + 7 = 2k + 9$

4. Соединив обе части, получаем окончательный вид утверждения $A_{k+1}$:

$A_{k+1}: 2^{k+1} > 2k + 9$

Теперь сравним наш результат с предложенными вариантами:

а) $2 \cdot 2^k > 2k + 8$. Упростив левую часть ($2 \cdot 2^k = 2^{k+1}$), получаем $2^{k+1} > 2k + 8$. Это неверно, так как правая часть должна быть $2k+9$. Ответ: неверно.

б) $2^{k+1} > 2k + 8$. Это неверно, так как правая часть должна быть $2k+9$. Ответ: неверно.

в) $2^{k+1} > 2k + 9$. Этот вариант в точности совпадает с выведенным нами утверждением $A_{k+1}$. Ответ: верно.

г) $2 \cdot 2^{k+1} > 2k + 9$. Упростив левую часть ($2 \cdot 2^{k+1} = 2^{k+2}$), получаем $2^{k+2} > 2k + 9$. Это неверно. Ответ: неверно.