Номер 34.9, страница 176 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

34.9. Если $A_n$ имеет вид $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2^n-1} < n$ для $n > 2$, то $A_{k+1}$:

a) $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2^k-1} + \frac{1}{2^{k+1}-1} < k+1;$

б) $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2^k-1} < k;$

в) $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2 \cdot 2^k-1} + \frac{1}{2^{k+1}-1} < k+1;$

г) $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2 \cdot 2^k-2} + \frac{1}{2^{k+1}-1} < k+1.$

Выберите правильный ответ.

Для решения задачи воспользуемся методом математической индукции. Нам дано, что для $n > 2$ выполняется неравенство $A_n < n$, где $A_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{2^n - 1}$. Предположим, что для некоторого $k > 2$ выполняется индукционное предположение:

$A_k = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{2^k - 1} < k$.

Нам нужно найти выражение для $A_{k+1}$ и доказать для него соответствующее неравенство. По определению, $A_{k+1}$ — это сумма членов гармонического ряда до $\frac{1}{2^{k+1} - 1}$:

$A_{k+1} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{2^{k+1} - 1}$.

Мы можем разбить эту сумму на две части: сумму до $\frac{1}{2^k - 1}$ (которая равна $A_k$) и оставшиеся члены.

$A_{k+1} = \left(1 + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{2^k - 1}\right) + \left(\frac{1}{2^k} + \frac{1}{2^k + 1} + ... + \frac{1}{2^{k+1} - 1}\right)$.

Таким образом, $A_{k+1} = A_k + \sum_{i=2^k}^{2^{k+1}-1} \frac{1}{i}$.

Теперь оценим вторую часть — сумму $\sum_{i=2^k}^{2^{k+1}-1} \frac{1}{i}$.

Количество слагаемых в этой сумме равно $(2^{k+1} - 1) - 2^k + 1 = 2^{k+1} - 2^k = 2 \cdot 2^k - 2^k = 2^k$.

Каждое слагаемое в этой сумме, $\frac{1}{i}$, меньше или равно первому слагаемому $\frac{1}{2^k}$, так как знаменатель $i \ge 2^k$. Поскольку не все слагаемые равны $\frac{1}{2^k}$ (все, кроме первого, строго меньше), то и вся сумма будет строго меньше, чем произведение количества слагаемых на наибольшее слагаемое:

$\sum_{i=2^k}^{2^{k+1}-1} \frac{1}{i} < 2^k \cdot \frac{1}{2^k} = 1$.

Теперь, используя индукционное предположение $A_k < k$ и полученную оценку суммы, мы можем оценить $A_{k+1}$:

$A_{k+1} = A_k + \sum_{i=2^k}^{2^{k+1}-1} \frac{1}{i} < k + 1$.

Итак, мы доказали, что $A_{k+1} < k+1$. Теперь проанализируем предложенные варианты ответов.

а) $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{2^k - 1} + \frac{1}{2^{k+1} - 1} < k+1$; В левой части неравенства записана сумма $A_k$ и еще один член $\frac{1}{2^{k+1} - 1}$. Это выражение не является $A_{k+1}$, так как в нем пропущены все члены от $\frac{1}{2^k}$ до $\frac{1}{2^{k+1}-2}$. Следовательно, утверждение неверно. Ответ: Неверно.

б) $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{2^k - 1} < k$; В левой части этого неравенства стоит выражение $A_k - 1$. Неравенство $A_k - 1 < k$ эквивалентно $A_k < k+1$. Это утверждение касается $A_k$, а не $A_{k+1}$, и не является искомым результатом. Следовательно, утверждение неверно. Ответ: Неверно.

в) $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{2 \cdot 2^k - 1} + \frac{1}{2^{k+1} - 1} < k+1$; Выражение $2 \cdot 2^k - 1$ равно $2^{k+1} - 1$. Таким образом, в левой части последний член $\frac{1}{2^{k+1}-1}$ указан дважды. Если понимать запись буквально, то левая часть равна $A_{k+1} + \frac{1}{2^{k+1}-1}$, что не является $A_{k+1}$. Вероятно, это опечатка, но в представленном виде утверждение неверно. Ответ: Неверно.

г) $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{2 \cdot 2^k - 2} + \frac{1}{2^{k+1} - 1} < k+1$; Выражение $2 \cdot 2^k - 2$ равно $2^{k+1} - 2$. В левой части неравенства показаны последние два члена суммы $A_{k+1}$: $\frac{1}{2^{k+1}-2}$ и $\frac{1}{2^{k+1}-1}$. Таким образом, левая часть в точности равна $A_{k+1}$. Неравенство $A_{k+1} < k+1$ соответствует результату, полученному нами выше. Следовательно, это утверждение является правильным. Ответ: Верно.