Номер 34.12, страница 177 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

34.12. Докажите утверждение:

a) $(6^{2n} - 1)$ : 35;

б) $(4^n + 15n - 1)$ : 9;

в) $(2^{5a+3} + 5^n \cdot 3^{n+2})$ : 17;

г) $(3^{n+2} - 8n - 9)$ : 64;

д) $(2^{n+3} \cdot 3^{4n} + 5^{3n+1})$ : 37;

е) $(7^{n+2} + 8^{2n+1})$ : 57;

ж) $(2^{n+2} \cdot 3^n + 5n - 4)$ : 25;

з) $(3^{n+2} \cdot 5^{2n} - 3^{n+2} \cdot 2^{2n})$ : 1053.

а) $(6^{2n} - 1) \vdots 35$

Преобразуем выражение, используя свойства степеней и формулу разности квадратов:

$6^{2n} - 1 = (6^2)^n - 1^n = 36^n - 1^n$.

Воспользуемся формулой разности n-ых степеней: $a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + ab^{n-2} + b^{n-1})$.

При $a=36$ и $b=1$ получаем:

$36^n - 1^n = (36-1)(36^{n-1} + 36^{n-2} \cdot 1 + \dots + 1^{n-1}) = 35 \cdot (36^{n-1} + 36^{n-2} + \dots + 36 + 1)$.

Поскольку один из множителей равен 35, все выражение делится на 35 без остатка. Утверждение доказано.

Ответ: частное от деления равно целому числу $\sum_{k=0}^{n-1} 36^k$.

б) $(4^n + 15n - 1) \vdots 9$

Докажем утверждение методом математической индукции. Пусть $A(n) = 4^n + 15n - 1$.

База индукции: Проверим для $n=1$.

$A(1) = 4^1 + 15 \cdot 1 - 1 = 18$.

Поскольку $18 = 9 \cdot 2$, выражение $A(1)$ делится на 9. База индукции верна.

Шаг индукции: Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального $k \ge 1$, то есть $A(k) = 4^k + 15k - 1$ делится на 9. Это означает, что существует целое число $m$ такое, что $4^k + 15k - 1 = 9m$. Отсюда выразим $4^k = 9m - 15k + 1$.

Докажем, что утверждение верно и для $n=k+1$, то есть $A(k+1) = 4^{k+1} + 15(k+1) - 1$ также делится на 9.

$A(k+1) = 4 \cdot 4^k + 15k + 15 - 1 = 4 \cdot 4^k + 15k + 14$.

Подставим выражение для $4^k$ из индукционного предположения:

$A(k+1) = 4(9m - 15k + 1) + 15k + 14 = 36m - 60k + 4 + 15k + 14 = 36m - 45k + 18$.

$A(k+1) = 9(4m - 5k + 2)$.

Так как $m$ и $k$ — целые числа, то $(4m - 5k + 2)$ также является целым числом. Следовательно, $A(k+1)$ делится на 9. Шаг индукции доказан.

По принципу математической индукции, утверждение верно для всех натуральных $n$.

Ответ: частное от деления является целым числом.

в) $(2^{5n+3} + 5^n \cdot 3^{n+2}) \vdots 17$

Преобразуем выражение, используя свойства степеней:

$2^{5n+3} + 5^n \cdot 3^{n+2} = 2^{5n} \cdot 2^3 + 5^n \cdot 3^n \cdot 3^2 = (2^5)^n \cdot 8 + (5 \cdot 3)^n \cdot 9 = 8 \cdot 32^n + 9 \cdot 15^n$.

Рассмотрим выражение по модулю 17.

Число $32$ можно представить как $32 = 17 + 15$, следовательно, $32 \equiv 15 \pmod{17}$.

Тогда $32^n \equiv 15^n \pmod{17}$.

Подставим это в наше выражение:

$8 \cdot 32^n + 9 \cdot 15^n \equiv 8 \cdot 15^n + 9 \cdot 15^n \pmod{17}$.

$8 \cdot 15^n + 9 \cdot 15^n = (8+9) \cdot 15^n = 17 \cdot 15^n$.

Поскольку выражение равно $17 \cdot 15^n$, оно очевидно делится на 17. Утверждение доказано.

Ответ: частное от деления является целым числом.

г) $(3^{n+2} - 8n - 9) \vdots 64$

Примечание: В условии задачи, скорее всего, опечатка. Если подставить $n=1$, то $3^{1+2} - 8(1) - 9 = 27 - 17 = 10$, что не делится на 64. Предположим, что имелось в виду выражение $(3^{2n+2} - 8n - 9)$. Докажем утверждение для этого выражения.

Докажем утверждение $(3^{2n+2} - 8n - 9) \vdots 64$ методом математической индукции. Пусть $A(n) = 3^{2n+2} - 8n - 9$.

База индукции: Проверим для $n=1$.

$A(1) = 3^{2(1)+2} - 8(1) - 9 = 3^4 - 8 - 9 = 81 - 17 = 64$.

Поскольку $64$ делится на 64, база индукции верна.

Шаг индукции: Предположим, что $A(k) = 3^{2k+2} - 8k - 9$ делится на 64 для некоторого $k \ge 1$. То есть $3^{2k+2} - 8k - 9 = 64m$ для некоторого целого $m$. Отсюда $3^{2k+2} = 64m + 8k + 9$.

Докажем, что $A(k+1) = 3^{2(k+1)+2} - 8(k+1) - 9$ также делится на 64.

$A(k+1) = 3^{2k+4} - 8k - 8 - 9 = 9 \cdot 3^{2k+2} - 8k - 17$.

Подставим выражение для $3^{2k+2}$:

$A(k+1) = 9(64m + 8k + 9) - 8k - 17 = 9 \cdot 64m + 72k + 81 - 8k - 17 = 9 \cdot 64m + 64k + 64$.

$A(k+1) = 64(9m + k + 1)$.

Так как $m$ и $k$ — целые, то $(9m + k + 1)$ является целым числом. Следовательно, $A(k+1)$ делится на 64. Шаг индукции доказан.

По принципу математической индукции, скорректированное утверждение верно.

Ответ: частное от деления (исправленного) выражения является целым числом.

д) $(2^{n+3} \cdot 3^{4n} + 5^{3n+1}) \vdots 37$

Примечание: В условии задачи, вероятно, опечатка. При $n=1$ выражение равно $2^4 \cdot 3^4 + 5^4 = 16 \cdot 81 + 625 = 1296 + 625 = 1921$. $1921 = 37 \cdot 51 + 34$, то есть на 37 не делится. Предположим, что первый член должен быть $2^{n+5}$ вместо $2^{n+3}$. Докажем утверждение для $(2^{n+5} \cdot 3^{4n} + 5^{3n+1}) \vdots 37$.

Преобразуем исправленное выражение:

$2^{n+5} \cdot 3^{4n} + 5^{3n+1} = 2^5 \cdot 2^n \cdot (3^4)^n + 5^1 \cdot (5^3)^n = 32 \cdot (2 \cdot 81)^n + 5 \cdot 125^n = 32 \cdot 162^n + 5 \cdot 125^n$.

Рассмотрим выражение по модулю 37.

$162 = 4 \cdot 37 + 14 \implies 162 \equiv 14 \pmod{37}$.

$125 = 3 \cdot 37 + 14 \implies 125 \equiv 14 \pmod{37}$.

Тогда $32 \cdot 162^n + 5 \cdot 125^n \equiv 32 \cdot 14^n + 5 \cdot 14^n \pmod{37}$.

$32 \cdot 14^n + 5 \cdot 14^n = (32+5) \cdot 14^n = 37 \cdot 14^n$.

Так как $37 \cdot 14^n$ делится на 37, то и исходное (исправленное) выражение делится на 37. Утверждение доказано.

Ответ: частное от деления (исправленного) выражения является целым числом.

е) $(7^{n+2} + 8^{2n+1}) \vdots 57$

Преобразуем выражение:

$7^{n+2} + 8^{2n+1} = 7^2 \cdot 7^n + 8^1 \cdot (8^2)^n = 49 \cdot 7^n + 8 \cdot 64^n$.

Используем тождество $a^n-b^n$, для этого преобразуем выражение так, чтобы выделить множитель, кратный 57.

$49 \cdot 7^n + 8 \cdot 64^n = (57-8) \cdot 7^n + 8 \cdot 64^n = 57 \cdot 7^n - 8 \cdot 7^n + 8 \cdot 64^n$.

$= 57 \cdot 7^n + 8(64^n - 7^n)$.

Первое слагаемое, $57 \cdot 7^n$, очевидно делится на 57.

Второе слагаемое, $8(64^n - 7^n)$, содержит множитель $(64^n - 7^n)$. Разность $a^n-b^n$ всегда делится на $a-b$. В нашем случае $64^n - 7^n$ делится на $64-7 = 57$.

Поскольку оба слагаемых делятся на 57, их сумма также делится на 57. Утверждение доказано.

Ответ: частное от деления равно целому числу $7^n + 8 \cdot \sum_{k=0}^{n-1} 64^{n-1-k} 7^k$.

ж) $(2^{n+2} \cdot 3^n + 5n - 4) \vdots 25$

Преобразуем выражение: $2^{n+2} \cdot 3^n + 5n - 4 = 4 \cdot 2^n \cdot 3^n + 5n - 4 = 4 \cdot 6^n + 5n - 4$.

Докажем утверждение методом математической индукции. Пусть $A(n) = 4 \cdot 6^n + 5n - 4$.

База индукции: Проверим для $n=1$.

$A(1) = 4 \cdot 6^1 + 5(1) - 4 = 24 + 5 - 4 = 25$.

$25$ делится на 25. База индукции верна.

Шаг индукции: Предположим, что $A(k) = 4 \cdot 6^k + 5k - 4$ делится на 25 для некоторого $k \ge 1$. То есть $4 \cdot 6^k + 5k - 4 = 25m$ для целого $m$. Отсюда $4 \cdot 6^k = 25m - 5k + 4$.

Докажем, что $A(k+1) = 4 \cdot 6^{k+1} + 5(k+1) - 4$ делится на 25.

$A(k+1) = 6 \cdot (4 \cdot 6^k) + 5k + 5 - 4 = 6 \cdot (4 \cdot 6^k) + 5k + 1$.

Подставим выражение для $4 \cdot 6^k$:

$A(k+1) = 6(25m - 5k + 4) + 5k + 1 = 150m - 30k + 24 + 5k + 1 = 150m - 25k + 25$.

$A(k+1) = 25(6m - k + 1)$.

Так как $m$ и $k$ — целые, то $(6m - k + 1)$ является целым числом. Следовательно, $A(k+1)$ делится на 25. Шаг индукции доказан.

По принципу математической индукции, утверждение верно для всех натуральных $n$.

Ответ: частное от деления является целым числом.

з) $(3^{n+2} \cdot 5^{2n} - 3^{n+2} \cdot 2^{2n}) \vdots 1053$

Утверждение в задаче неверно. Проверим его для $n=1$.

Выражение: $3^{1+2} \cdot 5^{2 \cdot 1} - 3^{1+2} \cdot 2^{2 \cdot 1} = 3^3 \cdot 5^2 - 3^3 \cdot 2^2 = 27 \cdot 25 - 27 \cdot 4 = 27 \cdot (25 - 4) = 27 \cdot 21 = 567$.

Требуется доказать, что 567 делится на 1053.

Однако, $567 < 1053$, и 567 не равно нулю, поэтому 567 не может делиться на 1053 нацело. Следовательно, утверждение ложно.

Ответ: утверждение неверно.