Номер 35.3, страница 181 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

35.3. Многочлен

$a^8 + 8a^7 \cdot 2 + 28a^6 \cdot 2^2 + 56a^5 \cdot 2^3 + 70a^4 \cdot 2^4 + 56a^3 \cdot 2^5 + 28a^2 \cdot 2^6 + 8a \cdot 2^7 + 2^8$

тождественно равен:

а) $(a + 2)^7$; б) $(a + 2)^9$; в) $(a - 2)^8$; г) $(a + 2)^8$.

Выберите правильный ответ.

Данный многочлен представляет собой разложение бинома Ньютона. Общая формула бинома Ньютона для $(x+y)^n$ выглядит следующим образом:

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^{n-k} y^k = C_n^0 x^n + C_n^1 x^{n-1}y + C_n^2 x^{n-2}y^2 + \dots + C_n^n y^n$

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальные коэффициенты.

В заданном многочлене:

$a^8 + 8a^7 \cdot 2 + 28a^6 \cdot 2^2 + 56a^5 \cdot 2^3 + 70a^4 \cdot 2^4 + 56a^3 \cdot 2^5 + 28a^2 \cdot 2^6 + 8a \cdot 2^7 + 2^8$

можно заметить, что он соответствует формуле бинома Ньютона при $x=a$, $y=2$ и $n=8$. Чтобы это доказать, проверим соответствие коэффициентов перед членами разложения биномиальным коэффициентам $C_8^k$.

$C_8^0 = \frac{8!}{0!(8-0)!} = 1$
$C_8^1 = \frac{8!}{1!(8-1)!} = 8$
$C_8^2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28$
$C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56$
$C_8^4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70$
Из-за свойства симметрии $C_n^k = C_n^{n-k}$:
$C_8^5 = C_8^3 = 56$
$C_8^6 = C_8^2 = 28$
$C_8^7 = C_8^1 = 8$
$C_8^8 = C_8^0 = 1$

Коэффициенты (1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1) полностью совпадают с коэффициентами в заданном многочлене. Следовательно, многочлен тождественно равен $(a+2)^8$.

Рассмотрим предложенные варианты:

а) $(a+2)^7$ Ответ: неверно. Степень разложения равна $7$, а не $8$.

б) $(a+2)^9$ Ответ: неверно. Степень разложения равна $9$, а не $8$.

в) $(a-2)^8$ Ответ: неверно. При разложении $(a-2)^8$ знаки у членов с нечетными степенями $y=-2$ будут отрицательными (например, второй член был бы $-C_8^1a^7 \cdot 2^1 = -16a^7$), а в исходном многочлене все члены положительны.

г) $(a+2)^8$ Ответ: верно. Разложение этого выражения полностью совпадает с данным многочленом.