Номер 35.6, страница 181 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

35.6. Многочлен $a^8 - 8a^7 + 28a^6 - 56a^5 + 70a^4 - 56a^3 + 28a^2 - 8a + 1$ тождественно равен:

а) $(a + 1)^7$;

б) $(a + 1)^9$;

в) $(a - 1)^8$;

г) $(a + 1)^8$.

Выберите правильный ответ.

Для того чтобы определить, какому из предложенных выражений тождественно равен многочлен $a^8 - 8a^7 + 28a^6 - 56a^5 + 70a^4 - 56a^3 + 28a^2 - 8a + 1$, воспользуемся формулой бинома Ньютона.

Общая формула разложения бинома $(x+y)^n$ выглядит следующим образом:

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} y^k = \binom{n}{0}x^n + \binom{n}{1}x^{n-1}y + \dots + \binom{n}{n}y^n$

где $\binom{n}{k}$ — биномиальные коэффициенты, которые вычисляются как $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Анализируя данный многочлен, можно заметить два ключевых момента:

1. Его наивысшая степень равна 8. Это говорит о том, что многочлен, скорее всего, является результатом возведения бинома в 8-ю степень.
2. Знаки при членах многочлена чередуются (плюс, минус, плюс, минус, ...). Это характерно для разложения бинома вида $(x-y)^n$.

Эти наблюдения позволяют предположить, что правильным ответом является вариант в) $(a-1)^8$. Проверим это предположение, раскрыв скобки по формуле бинома Ньютона, где $x=a$, $y=-1$ и $n=8$.

Коэффициенты разложения для $n=8$:

• $\binom{8}{0} = 1$
• $\binom{8}{1} = 8$
• $\binom{8}{2} = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28$
• $\binom{8}{3} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56$
• $\binom{8}{4} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70$
• (остальные коэффициенты симметричны: $\binom{8}{5}=\binom{8}{3}=56$, $\binom{8}{6}=\binom{8}{2}=28$, и т.д.)

Разложение $(a-1)^8$ имеет вид:

$(a-1)^8 = \binom{8}{0}a^8(-1)^0 + \binom{8}{1}a^7(-1)^1 + \binom{8}{2}a^6(-1)^2 + \binom{8}{3}a^5(-1)^3 + \binom{8}{4}a^4(-1)^4 + \binom{8}{5}a^3(-1)^5 + \binom{8}{6}a^2(-1)^6 + \binom{8}{7}a^1(-1)^7 + \binom{8}{8}a^0(-1)^8$

Подставляя значения коэффициентов и учитывая знаки, получаем:

$(a-1)^8 = 1 \cdot a^8 - 8a^7 + 28a^6 - 56a^5 + 70a^4 - 56a^3 + 28a^2 - 8a + 1$

Полученное выражение полностью совпадает с многочленом из условия задачи. Теперь проанализируем каждый из предложенных вариантов.

a) $(a+1)^7$: Степень этого многочлена равна 7, в то время как у исходного многочлена степень равна 8. Ответ: неверно.

б) $(a+1)^9$: Степень этого многочлена равна 9, что не соответствует степени 8 исходного многочлена. Ответ: неверно.

в) $(a-1)^8$: Как было показано в подробном решении выше, разложение этого выражения в точности совпадает с заданным многочленом. Ответ: верно.

г) $(a+1)^8$: При раскрытии этого выражения все знаки будут положительными ($a^8 + 8a^7 + 28a^6 + \dots$), что противоречит чередующимся знакам в исходном многочлене. Ответ: неверно.