Номер 35.5, страница 181 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

35.5. Пятый член в разложении бинома Ньютона $(a - b)^{10}$ равен:

а) $120a^5b^5$;

б) $252a^5b^5$;

в) $120a^8b^2$;

г) $210a^6b^4$.

Выберите правильный ответ.

Для нахождения пятого члена в разложении бинома Ньютона $(a - b)^{10}$ используется общая формула для $(k+1)$-го члена разложения $(x+y)^n$:

$T_{k+1} = C_n^k x^{n-k} y^k$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент.

В данном случае параметры следующие:

• $x = a$
• $y = -b$
• $n = 10$

Мы ищем пятый член, следовательно, номер члена $k+1 = 5$, откуда получаем $k = 4$.

Подставим эти значения в формулу:

$T_5 = T_{4+1} = C_{10}^4 a^{10-4} (-b)^4$

Теперь вычислим биномиальный коэффициент $C_{10}^4$:

$C_{10}^4 = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6!}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{24}$

Выполним вычисления:

$C_{10}^4 = 10 \times 3 \times 7 = 210$

Далее найдем степени переменных:

$a^{10-4} = a^6$

$(-b)^4 = b^4$ (так как показатель степени 4 является четным числом, отрицательный знак исчезает).

Объединив все части, получаем пятый член разложения:

$T_5 = 210a^6b^4$

Сравнив полученный результат с предложенными вариантами, делаем вывод:

а) $120a^5b^5$; Ответ: неверно.

б) $252a^5b^5$; Ответ: неверно.

в) $120a^8b^2$; Ответ: неверно.

г) $210a^6b^4$. Ответ: верно.