Номер 35.10, страница 181 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

35.10. Определите номер члена разложения $(x - \sqrt[4]{x})^{40}$, содержащего $x^{13}$.

Для решения задачи воспользуемся формулой общего $(k+1)$-го члена разложения бинома Ньютона $(a+b)^n$:

$T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k$

В заданном выражении $(x - \sqrt[4]{x})^{40}$ имеем следующие компоненты:
$a = x$
$b = -\sqrt[4]{x}$, что можно записать как $-x^{\frac{1}{4}}$
$n = 40$

Подставим эти значения в формулу общего члена, чтобы найти его вид в данном разложении:

$T_{k+1} = C_{40}^k (x)^{40-k} (-x^{\frac{1}{4}})^k$

Упростим полученное выражение, обращая внимание на степени переменной $x$:

$T_{k+1} = C_{40}^k (-1)^k x^{40-k} (x^{\frac{1}{4}})^k = C_{40}^k (-1)^k x^{40-k + \frac{k}{4}}$

Согласно условию, необходимо найти член разложения, содержащий $x^{13}$. Это означает, что показатель степени при $x$ должен быть равен 13. Составим и решим уравнение относительно $k$:

$40 - k + \frac{k}{4} = 13$

Для решения уравнения приведем подобные члены с $k$ и перенесем свободные члены:

$40 - 13 = k - \frac{k}{4}$

$27 = \frac{4k - k}{4}$

$27 = \frac{3k}{4}$

Теперь выразим $k$:

$3k = 27 \cdot 4$

$3k = 108$

$k = \frac{108}{3}$

$k = 36$

Индекс $k$ определяет порядковый номер члена в разложении по формуле "номер = $k+1$", поскольку нумерация членов начинается с 1 (при $k=0$), а не с 0.

Следовательно, искомый номер члена равен:

Номер члена = $36 + 1 = 37$

35.10. Ответ: 37