Номер 35.14, страница 182 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

35.14. В разложении $(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}})^p$ отношение коэффициента четвертого члена к коэффициенту второго члена разложения равно 7 : 2. Тогда член разложения, содержащий $x$ в первой степени, равен:

а) $35x$;

б) $84x$;

в) $32x$;

г) $6x$.

Выберите правильный ответ.

Для решения задачи воспользуемся формулой бинома Ньютона $(a+b)^p = \sum_{k=0}^{p} C_p^k a^{p-k} b^k$.

Общий $(k+1)$-й член разложения ($T_{k+1}$) для выражения $(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}})^p$, где $a = x^{1/2}$ и $b = -x^{-2/3}$, имеет вид:

$T_{k+1} = C_p^k (x^{1/2})^{p-k} (-x^{-2/3})^k = C_p^k (-1)^k x^{\frac{p-k}{2} - \frac{2k}{3}}$

Коэффициент этого члена равен $c_{k+1} = C_p^k (-1)^k$.

В разложении $(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}})^p$ отношение коэффициента четвертого члена к коэффициенту второго члена разложения равно 7 : 2.

Коэффициент четвертого члена ($T_4$, соответствует $k=3$) равен $c_4 = C_p^3 (-1)^3 = -C_p^3$.

Коэффициент второго члена ($T_2$, соответствует $k=1$) равен $c_2 = C_p^1 (-1)^1 = -C_p^1$.

Их отношение: $\frac{c_4}{c_2} = \frac{-C_p^3}{-C_p^1} = \frac{C_p^3}{C_p^1} = \frac{p(p-1)(p-2)/6}{p} = \frac{(p-1)(p-2)}{6}$.

Согласно условию, $\frac{(p-1)(p-2)}{6} = \frac{7}{2}$, что приводит к уравнению $(p-1)(p-2) = 21$ или $p^2 - 3p - 19 = 0$. У данного уравнения нет целых решений для $p$, что является обязательным условием для показателя степени бинома. Это указывает на опечатку в условии.

Предположим, что в условии имелось в виду отношение коэффициентов пятого ($k=4$) и третьего ($k=2$) членов. В этом случае:

$\frac{c_5}{c_3} = \frac{C_p^4 (-1)^4}{C_p^2 (-1)^2} = \frac{C_p^4}{C_p^2} = \frac{p!/(4!(p-4)!)}{p!/(2!(p-2)!)} = \frac{(p-2)(p-3)}{12}$.

Тогда $\frac{(p-2)(p-3)}{12} = \frac{7}{2}$, откуда $(p-2)(p-3) = 42$. Так как $42 = 7 \cdot 6$, то $p-2=7$, что дает $p=9$.

Ответ: Принимая во внимание вероятную опечатку в условии, показатель степени $p=9$.

Тогда член разложения, содержащий x в первой степени, равен:

Найдем член разложения $(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}})^9$, содержащий $x^1$. Показатель степени $x$ в общем члене $T_{k+1}$ равен $\frac{9-k}{2} - \frac{2k}{3}$. Приравняем его к 1, чтобы найти $k$:

$\frac{9-k}{2} - \frac{2k}{3} = 1$

Умножим обе части на 6: $3(9-k) - 2(2k) = 6 \implies 27 - 3k - 4k = 6 \implies 7k = 21 \implies k=3$.

Искомый член соответствует $k=3$, то есть это четвертый член разложения $T_4$.

$T_4 = C_9^3 (\sqrt{x})^{9-3} (-\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}})^3 = C_9^3 (x^{1/2})^6 (-x^{-2/3})^3 = -C_9^3 x^3 x^{-2} = -C_9^3 x$.

Вычислим биномиальный коэффициент: $C_9^3 = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 84$.

Следовательно, искомый член равен $-84x$.

Среди предложенных вариантов ответа (а) 35x; б) 84x; в) 32x; г) 6x) модуль нашего результата совпадает с вариантом б). Расхождение в знаке, вероятно, является следствием еще одной опечатки в условии (например, знак "-" в исходном выражении должен быть "+"). Исходя из предложенных вариантов, выбираем ответ б).

Ответ: б) $84x$.