Номер 1, страница 183 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

1. Выберите пару чисел, состоящую только из иррациональных чисел:

1) $\pi$; $0,(12)$; 2) -0,5; $\sqrt{3}$; 3) $\sqrt{3}$; $\pi$; 4) 0,8; $\sqrt{3}$;

5) -4; $0,2(52)$.

а) 1);

б) 2);

в) 3);

г) 4);

д) 5).

Для решения этой задачи необходимо проанализировать каждую пару чисел и определить, являются ли оба числа в паре иррациональными. Иррациональное число — это вещественное число, которое не может быть представлено в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$ (где $m$ — целое, а $n$ — натуральное число). Десятичное представление иррациональных чисел является бесконечным и непериодическим. Рациональные числа, в свою очередь, представимы в виде такой дроби, а их десятичное представление либо конечно, либо периодично.

1) $\pi$; 0,(12)
Число $\pi$ является классическим примером иррационального числа. Число $0,(12)$ — это чистая периодическая десятичная дробь, которая всегда является рациональным числом. Её можно представить в виде дроби: $0,(12) = \frac{12}{99} = \frac{4}{33}$. Поскольку в паре есть рациональное число, она не подходит.

2) –0,5; $\sqrt{3}$
Число $-0,5$ — это конечная десятичная дробь, которая является рациональным числом: $-0,5 = -\frac{1}{2}$. Число $\sqrt{3}$ — иррациональное, так как 3 не является полным квадратом целого числа. Эта пара содержит рациональное число, поэтому не подходит.

3) $\sqrt{3}$; $\pi$
Как указано выше, $\sqrt{3}$ является иррациональным числом. Число $\pi$ также является иррациональным. Оба числа в этой паре иррациональные, следовательно, эта пара удовлетворяет условию задачи.

4) 0,8; $\sqrt{3}$
Число $0,8$ — это конечная десятичная дробь, то есть рациональное число: $0,8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$. Число $\sqrt{3}$ является иррациональным. Эта пара содержит рациональное число и не подходит.

5) –4; 0,2(52)
Число $-4$ является целым, а все целые числа рациональны: $-4 = -\frac{4}{1}$. Число $0,2(52)$ — это смешанная периодическая десятичная дробь, которая является рациональным числом: $0,2(52) = \frac{252-2}{990} = \frac{250}{990} = \frac{25}{99}$. Оба числа в этой паре рациональные, поэтому она не подходит.

Таким образом, единственная пара, состоящая только из иррациональных чисел, это пара под номером 3.

Ответ: в) 3).