Номер 34.8, страница 176 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

34.8. Если $A_n$ имеет вид $(5^{2n+1} + 1):6$, то $A_{k+1}$:

а) $(5^{k+2} + 2):6$;

б) $(5^{2k+2} + 2):6$;

в) $(5^{2k+2} + 1):6$;

г) $(5^{2k+3} + 1):6$.

Выберите правильный ответ.

По условию задачи, n-й член последовательности $A_n$ определяется формулой: $A_n = (5^{2n+1} + 1) : 6$, что эквивалентно дроби $A_n = \frac{5^{2n+1} + 1}{6}$.

Для того чтобы найти вид члена последовательности $A_{k+1}$, необходимо в общую формулу для $A_n$ подставить вместо индекса $n$ выражение $(k+1)$:

$A_{k+1} = \frac{5^{2(k+1)+1} + 1}{6}$

Далее упростим выражение в показателе степени в числителе:

$2(k+1) + 1 = 2k + 2 + 1 = 2k + 3$

Подставив упрощенный показатель степени обратно в формулу, получаем итоговый вид для $A_{k+1}$:

$A_{k+1} = \frac{5^{2k+3} + 1}{6}$

Теперь проанализируем предложенные варианты ответов, чтобы выбрать правильный.

а) $(5^{k+2} + 2):6$
Это выражение не совпадает с полученной формулой для $A_{k+1}$. Кроме того, числитель $5^{k+2} + 2$ при любом натуральном $k$ оканчивается на цифру 7 (поскольку любая степень $5$ больше нулевой оканчивается на 5), а следовательно, он не является четным и не может делиться на 6.
Ответ: выражение не является целым числом.

б) $(5^{2k+2} + 2):6$
Это выражение также не совпадает с искомой формулой. Числитель $5^{2k+2} + 2$ по той же причине, что и в пункте а), оканчивается на 7 и не делится на 6.
Ответ: выражение не является целым числом.

в) $(5^{2k+2} + 1):6$
Данное выражение не соответствует формуле для $A_{k+1}$. Проверим делимость числителя на 3. Используем сравнение по модулю 3: $5 \equiv -1 \pmod{3}$. Тогда $5^{2k+2} + 1 = (5^2)^{k+1} + 1 \equiv ((-1)^2)^{k+1} + 1 \equiv 1^{k+1} + 1 = 1 + 1 = 2 \pmod{3}$. Числитель не делится на 3, значит, и все выражение не делится на 6 нацело.
Ответ: выражение не является целым числом.

г) $(5^{2k+3} + 1):6$
Это выражение полностью совпадает с выведенной нами формулой для $A_{k+1}$. Проверим, что оно всегда является целым числом. Числитель $5^{2k+3} + 1$ оканчивается на 6 (так как $5^{2k+3}$ оканчивается на 5), следовательно, он делится на 2. Показатель $2k+3$ всегда нечетный, поэтому по модулю 3 имеем: $5^{2k+3} + 1 \equiv (-1)^{2k+3} + 1 \equiv -1 + 1 = 0 \pmod{3}$. Так как числитель делится и на 2, и на 3, он делится на 6. Таким образом, это выражение является правильным ответом, и его значение всегда целочисленно.
Ответ: $\frac{5^{2k+3} + 1}{6}$