Номер 34.3, страница 175 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

34.3. Если $A_n$ имеет вид $1^1 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2n-1)^2 = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$, то $A_{k+1}$:

a) $1^1 + 3^2 + 5^2 + \dots + (k+1)^2 = \frac{(k+1)(2k+1)(2k+2)}{3}$;

б) $1^1 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2k)^2 = \frac{(k+1)(2k+2)(2k+3)}{3}$;

в) $1^1 + 3^2 + 5^2 + \dots + (k+1)^2 = \frac{(k+1)(2k)(2k+2)}{3}$;

г) $1^1 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2k+1)^2 = \frac{(k+1)(2k+1)(2k+3)}{3}$.

Выберите правильный ответ.

Для решения задачи необходимо найти выражение для $A_{k+1}$, подставив $n = k+1$ в данную формулу для $A_n$.

Исходная формула: $A_n = 1^1 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2n - 1)^2 = \frac{n(2n - 1)(2n + 1)}{3}$.

Выполним замену $n \rightarrow k+1$.

Анализ левой части (суммы)

Последний член в сумме $A_n$ — это $(2n - 1)^2$. При замене $n$ на $k+1$ он станет:
$(2(k+1) - 1)^2 = (2k + 2 - 1)^2 = (2k + 1)^2$.

Следовательно, искомая сумма имеет вид: $1^1 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2k + 1)^2$.

Анализ правой части (формулы)

Подставим $n = k+1$ в дробь $\frac{n(2n - 1)(2n + 1)}{3}$:
$\frac{(k+1)(2(k+1) - 1)(2(k+1) + 1)}{3}$.

Теперь упростим множители в числителе:

Второй множитель: $2(k+1) - 1 = 2k + 2 - 1 = 2k + 1$.

Третий множитель: $2(k+1) + 1 = 2k + 2 + 1 = 2k + 3$.

Таким образом, искомая формула имеет вид: $\frac{(k+1)(2k + 1)(2k + 3)}{3}$.

Проверка вариантов

Мы установили, что правильное полное равенство для $A_{k+1}$ имеет вид:
$1^1 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2k + 1)^2 = \frac{(k+1)(2k+1)(2k+3)}{3}$.

Сравним полученный результат с предложенными вариантами.

а) $1^1 + 3^2 + 5^2 + \dots + (k+1)^2 = \frac{(k+1)(2k+1)(2k+2)}{3}$; Ответ: неверно. Последний член суммы $(k+1)^2$ не соответствует общему виду члена последовательности нечетных чисел $(2n-1)^2$. Правая часть также неверна.

б) $1^1 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2k)^2 = \frac{(k+1)(2k+2)(2k+3)}{3}$; Ответ: неверно. Последний член суммы $(2k)^2$ является квадратом четного числа, а в сумме должны быть только квадраты нечетных чисел.

в) $1^1 + 3^2 + 5^2 + \dots + (k+1)^2 = \frac{(k+1)(2k)(2k+2)}{3}$; Ответ: неверно. Как и в варианте а), левая и правая части равенства не соответствуют искомой формуле.

г) $1^1 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2k+1)^2 = \frac{(k+1)(2k+1)(2k+3)}{3}$; Ответ: верно. Обе части равенства полностью совпадают с результатом, полученным путем подстановки $n = k+1$ в исходную формулу.