Номер 34.7, страница 176 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

34.7. Если $A_n$ имеет вид

$1^1 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \ldots + (-1)^{n-1} \cdot n^2 = \frac{(-1)^{n+1} \cdot n(n+1)}{2}$,

то $A_{k+1}$:

a) $1^1 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \ldots + (-1)^k \cdot k^2 + 1 = \frac{(-1)^{k+1} \cdot (k+1)(k+2)}{2}$;

б) $1^1 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \ldots + (-1)^k \cdot k^2 + 1 = \frac{(-1)^{k+2} \cdot (k+1)(k+2)}{2}$;

в) $1^1 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \ldots + (-1)^k \cdot (k^2+1) = \frac{(-1)^{k+2} \cdot (k+1)(k+2)}{2}$;

г) $1^1 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \ldots + (-1)^k \cdot (k+1)^2 = \frac{(-1)^{k+2} \cdot (k+1)(k+2)}{2}$.

Выберите правильный ответ.

Данное утверждение $A_n$ представляет собой формулу для знакочередующейся суммы квадратов натуральных чисел:

$A_n: 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \dots + (-1)^{n-1} \cdot n^2 = \frac{(-1)^{n+1} \cdot n(n+1)}{2}$

Чтобы получить утверждение $A_{k+1}$, необходимо в формуле для $A_n$ везде заменить переменную $n$ на выражение $k+1$. Это стандартный шаг в методе математической индукции.

1. Преобразуем левую часть равенства (сумму):

Сумма для $A_n$ состоит из $n$ слагаемых и заканчивается членом $(-1)^{n-1} \cdot n^2$. Для $A_{k+1}$ сумма будет состоять из $k+1$ слагаемых. Чтобы найти последний член суммы, подставим $n = k+1$ в выражение для общего члена:

$(-1)^{(k+1)-1} \cdot (k+1)^2 = (-1)^k \cdot (k+1)^2$

Таким образом, вся левая часть утверждения $A_{k+1}$ будет выглядеть так:

$1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \dots + (-1)^k \cdot (k+1)^2$

2. Преобразуем правую часть равенства (формулу):

Заменим $n$ на $k+1$ в выражении в правой части исходной формулы:

$\frac{(-1)^{(k+1)+1} \cdot (k+1)((k+1)+1)}{2} = \frac{(-1)^{k+2} \cdot (k+1)(k+2)}{2}$

3. Итоговое утверждение $A_{k+1}$:

Соединив преобразованные левую и правую части, мы получаем полное утверждение $A_{k+1}$:

$1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \dots + (-1)^k \cdot (k+1)^2 = \frac{(-1)^{k+2} \cdot (k+1)(k+2)}{2}$

Теперь проанализируем предложенные варианты.

а) $1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \dots + (-1)^k \cdot k^2 + 1 = \frac{(-1)^{k+1} \cdot (k+1)(k+2)}{2}$; Ответ: неверно. Левая часть не является суммой $(k+1)$ членов последовательности. Правая часть также неверна, так как показатель степени у $(-1)$ должен быть $k+2$.

б) $1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \dots + (-1)^k \cdot k^2 + 1 = \frac{(-1)^{k+2} \cdot (k+1)(k+2)}{2}$; Ответ: неверно. Левая часть не соответствует сумме $(k+1)$ членов исходной последовательности.

в) $1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \dots + (-1)^k \cdot (k^2 + 1) = \frac{(-1)^{k+2} \cdot (k+1)(k+2)}{2}$; Ответ: неверно. Последний член в левой части, $(-1)^k \cdot (k^2 + 1)$, не является $(k+1)$-м членом, который должен быть равен $(-1)^k \cdot (k+1)^2$.

г) $1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \dots + (-1)^k \cdot (k+1)^2 = \frac{(-1)^{k+2} \cdot (k+1)(k+2)}{2}$. Ответ: верно. Данное равенство в точности соответствует утверждению $A_{k+1}$, полученному путем корректной замены $n$ на $k+1$ в исходной формуле.