Номер 34.1, страница 174 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

34.1. Если $A_n$ имеет вид $1+2+3+...+n = \frac{n(n+1)}{2}$, то $A_{k+1}$:

а) $1+2+3+...+(k+1) = \frac{(k+1)(k+1)}{2}$;

б) $1+2+3+...+k+1 = \frac{(k+1)(k+2)}{3}$;

в) $1+2+3+...+k+1 = \frac{(k+1)(k+2)}{2}$;

г) $2+3+4+...+k+1 = \frac{(k+1)(k+2)}{3}$.

Выберите правильный ответ.

В задаче дана формула для суммы первых $n$ натуральных чисел, обозначаемая как $A_n$:

$A_n = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$

Требуется найти выражение для $A_{k+1}$, которое представляет собой сумму первых $k+1$ натуральных чисел. Для этого необходимо подставить $k+1$ вместо $n$ в исходную формулу.

Заменяем $n$ на $k+1$:

$A_{k+1} = 1 + 2 + 3 + \dots + (k+1) = \frac{(k+1)((k+1)+1)}{2}$

Упрощаем выражение в числителе, выполнив сложение в скобках:

$A_{k+1} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}$

Теперь проанализируем каждый из предложенных вариантов, чтобы выбрать правильный.

а) $1+2+3+\dots+(k+1) = \frac{(k+1)(k+1)}{2}$; Ответ: Неверно. Левая часть равенства правильно представляет собой сумму $A_{k+1}$, но правая часть содержит ошибку. Второй множитель в числителе должен быть $(k+2)$, а не $(k+1)$.

б) $1+2+3+\dots+k+1 = \frac{(k+1)(k+2)}{3}$; Ответ: Неверно. Левая часть (которую следует понимать как $1+2+\dots+(k+1)$) верна, но в знаменателе дроби в правой части должно стоять число 2, а не 3.

в) $1+2+3+\dots+k+1 = \frac{(k+1)(k+2)}{2}$; Ответ: Верно. Данное равенство полностью соответствует формуле для $A_{k+1}$, которую мы вывели. И левая, и правая части верны.

г) $2+3+4+\dots+k+1 = \frac{(k+1)(k+2)}{3}$; Ответ: Неверно. Левая часть представляет собой сумму натуральных чисел от 2 до $k+1$, а не от 1, поэтому это не $A_{k+1}$. Кроме того, правая часть также является неверной.

Таким образом, правильный ответ — в).