Номер 27.19, страница 134 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

27.19. Найти сумму критических точек функции $f(x) = \sin 2x + 6\sin x + 2x$ на промежутке $(-100^\circ; 300^\circ]$.

Критическими точками функции называются внутренние точки области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует. Заданная функция $f(x) = \sin 2x + 6\sin x + 2x$ определена и дифференцируема для всех действительных чисел $x$, поэтому ее критическими точками будут только те точки, в которых производная равна нулю.

1. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\sin 2x + 6\sin x + 2x)' = (\sin 2x)' + (6\sin x)' + (2x)' = 2\cos 2x + 6\cos x + 2$.

2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$2\cos 2x + 6\cos x + 2 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$\cos 2x + 3\cos x + 1 = 0$

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$.

$(2\cos^2 x - 1) + 3\cos x + 1 = 0$

$2\cos^2 x + 3\cos x = 0$

Вынесем $\cos x$ за скобки:

$\cos x (2\cos x + 3) = 0$

Получаем два уравнения:

а) $\cos x = 0$

б) $2\cos x + 3 = 0 \implies \cos x = -\frac{3}{2}$

Уравнение (б) не имеет решений, так как значение косинуса не может быть меньше $-1$.

Решением уравнения (а) является серия корней $x = 90^\circ + 180^\circ n$, где $n$ — любое целое число.

3. Выберем из найденных решений те, которые принадлежат промежутку $(-100^\circ; 300^\circ]$.

• При $n = -1$: $x = 90^\circ + 180^\circ(-1) = -90^\circ$. Это значение принадлежит промежутку $(-100^\circ; 300^\circ]$.
• При $n = 0$: $x = 90^\circ + 180^\circ(0) = 90^\circ$. Это значение принадлежит промежутку $(-100^\circ; 300^\circ]$.
• При $n = 1$: $x = 90^\circ + 180^\circ(1) = 270^\circ$. Это значение принадлежит промежутку $(-100^\circ; 300^\circ]$.
• При $n = 2$: $x = 90^\circ + 180^\circ(2) = 450^\circ$. Это значение не принадлежит промежутку.

Таким образом, критические точки функции на заданном промежутке: $-90^\circ, 90^\circ, 270^\circ$.

4. Найдем сумму критических точек:

$-90^\circ + 90^\circ + 270^\circ = 270^\circ$.

Сумма критических точек функции: Ответ: 270