Номер 27.18, страница 134 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

27.18. Докажите, что на графике функции $y = 2x^3 + x - 1$ нет точек, в которых касательные параллельны осям координат.

Для того чтобы доказать, что на графике функции $y = 2x^3 + x - 1$ нет точек, в которых касательные параллельны осям координат, необходимо рассмотреть два случая: параллельность оси абсцисс (Ox) и параллельность оси ординат (Oy).

Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции $y'(x_0)$ в этой точке. Найдем производную данной функции:

$y' = (2x^3 + x - 1)' = 6x^2 + 1$.

1. Параллельность оси абсцисс (Ox):

Касательная параллельна оси Ox, если ее угловой коэффициент равен нулю. Следовательно, необходимо найти точки, в которых производная $y'$ равна нулю.

Составим и решим уравнение:

$6x^2 + 1 = 0$

$6x^2 = -1$

$x^2 = -\frac{1}{6}$

Данное уравнение не имеет действительных решений, поскольку квадрат любого действительного числа ($x^2$) всегда неотрицателен и не может быть равен отрицательному числу $-\frac{1}{6}$. Это означает, что на графике функции нет точек, в которых касательная параллельна оси Ox. Ответ: на графике функции нет касательных, параллельных оси Ox.

2. Параллельность оси ординат (Oy):

Касательная параллельна оси Oy (является вертикальной), если ее угловой коэффициент не определен (стремится к бесконечности). Для дифференцируемой функции это возможно в точках, где производная не существует. Наша производная $y' = 6x^2 + 1$ является многочленом. Областью определения многочлена является множество всех действительных чисел ($x \in \mathbb{R}$). Это означает, что производная существует и принимает конечные значения при любом $x$. Более того, так как $x^2 \ge 0$, то $6x^2 \ge 0$, и $y' = 6x^2 + 1 \ge 1$. Производная никогда не бывает неопределенной. Следовательно, на графике функции нет точек с вертикальными касательными. Ответ: на графике функции нет касательных, параллельных оси Oy.

Таким образом, поскольку на графике функции нет касательных, параллельных ни оси Ox, ни оси Oy, доказано, что на графике функции $y = 2x^3 + x - 1$ нет точек, в которых касательные параллельны осям координат.