Номер 1, страница 189 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

1. Выберите неравенство, равносильное неравенству $5x \le 1$:

1) $5x^2 \le x$;

2) $5x + \frac{2}{x} \le \frac{2}{x} + 1$;

3) $x \le 1,5$;

4) $x - 0,2 \le 0$;

5) $\frac{5x}{x - 3} \le \frac{1}{x - 3}$.

а) 1);

б) 2);

в) 3);

г) 4);

д) 5).

Два неравенства называются равносильными (или эквивалентными), если множества их решений полностью совпадают. Чтобы найти неравенство, равносильное данному, сначала решим исходное неравенство, а затем сравним его множество решений с множествами решений каждого из предложенных вариантов.

Исходное неравенство: $5x \le 1$

Разделим обе части неравенства на 5. Поскольку 5 — положительное число, знак неравенства не изменяется: $x \le \frac{1}{5}$ В десятичной записи это выглядит так: $x \le 0,2$ Множество решений исходного неравенства: $x \in (-\infty; 0,2]$.

Теперь проанализируем каждый из предложенных вариантов.

Перенесем все члены в левую часть: $5x^2 - x \le 0$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(5x - 1) \le 0$. Для решения найдем корни уравнения $x(5x - 1) = 0$, которыми являются $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{1}{5}$. Так как график функции $y = x(5x-1)$ — это парабола с ветвями вверх, то ее значения будут меньше или равны нулю на отрезке между корнями. Таким образом, решение этого неравенства — промежуток $[0; 0,2]$. Это множество не совпадает с $(-\infty; 0,2]$. Ответ: неравенство не равносильно исходному.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \ne 0$. Теперь можно упростить неравенство, вычтя из обеих его частей слагаемое $\frac{2}{x}$: $5x \le 1$, откуда получаем $x \le \frac{1}{5}$ или $x \le 0,2$. Учитывая ОДЗ ($x \ne 0$), итоговым решением будет объединение интервалов $(-\infty; 0) \cup (0; 0,2]$. Это множество отличается от $(-\infty; 0,2]$, так как из него исключена точка $x=0$. Ответ: неравенство не равносильно исходному.

Решением этого неравенства является промежуток $(-\infty; 1,5]$. Это множество очевидно не совпадает с $(-\infty; 0,2]$. Представим $1,5$ в виде неправильной дроби: $1,5 = \frac{3}{2}$. Ответ: неравенство не равносильно исходному, целая часть числа в правой части равна 1.

Перенесем $-0,2$ в правую часть, изменив знак: $x \le 0,2$. Множество решений этого неравенства — $(-\infty; 0,2]$. Оно в точности совпадает с множеством решений исходного неравенства $5x \le 1$. Ответ: неравенство равносильно исходному.

ОДЗ данного неравенства: $x \ne 3$. Перенесем правую часть влево и приведем к общему знаменателю: $\frac{5x}{x-3} - \frac{1}{x-3} \le 0$, что дает $\frac{5x-1}{x-3} \le 0$. Решим это неравенство методом интервалов. Нуль числителя: $5x-1=0 \implies x=0,2$. Нуль знаменателя: $x-3=0 \implies x=3$. Нанесем точки $0,2$ (включительно) и $3$ (исключительно) на числовую прямую и определим знаки выражения на получившихся интервалах. Выражение будет отрицательным на интервале $(0,2; 3)$. С учетом того, что неравенство нестрогое, решение: $[0,2; 3)$. Это множество не совпадает с $(-\infty; 0,2]$. Ответ: неравенство не равносильно исходному.

Вывод: Единственное неравенство, равносильное исходному, — это неравенство под номером 4. В списке вариантов ответов это г) 4).