Номер 4, страница 189 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

4. Найдите число целых решений неравенства $0,5x^2 - x - 1,5 \le 0$.

а) 1;

б) 2;

в) 3;

г) 4;

д) 5.

Для решения данного квадратного неравенства $0,5x^2 - x - 1,5 \le 0$ необходимо найти значения $x$, при которых левая часть меньше или равна нулю. Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $0,5x^2 - x - 1,5 = 0$.

Для удобства вычислений умножим все члены уравнения на 2, чтобы избавиться от десятичных коэффициентов:

$2 \cdot (0,5x^2 - x - 1,5) = 2 \cdot 0$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Теперь решим это приведенное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для нахождения корней через дискриминант. Найдем корни через дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=-2$, $c=-3$.

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$

Поскольку дискриминант $D=16 > 0$, уравнение имеет два действительных корня:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Мы нашли точки, в которых парабола $y = x^2 - 2x - 3$ пересекает ось абсцисс. Так как коэффициент $a=1$ при $x^2$ положительный, ветви параболы направлены вверх. Это означает, что значения функции $y$ меньше или равны нулю ($y \le 0$) на промежутке между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решением неравенства является отрезок $x \in [-1; 3]$.

Теперь определим, какие целые числа входят в этот отрезок. Это числа: -1, 0, 1, 2, 3.

Подсчитаем количество этих целых решений: их всего 5.

д) 5. Ответ: 5