Номер 9, страница 190 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9. Решите двойное неравенство

$-3 \le 1 - 3x - x^2 < \frac{13}{4}$

a) $(-\infty; +\infty)$;

б) $(-\infty; -4] \cup [1; +\infty)$;

в) $[-4; 1]$;

г) $(-\infty; -1,5) \cup (-1,5; +\infty)$;

д) $[-4; -1,5) \cup (-1,5; 1]$.

Для решения двойного неравенства $-3 \le 1 - 3x - x^2 < \frac{13}{4}$ представим его в виде системы двух независимых неравенств:

$\begin{cases} 1 - 3x - x^2 \ge -3 \\ 1 - 3x - x^2 < \frac{13}{4} \end{cases}$

Решим каждое неравенство отдельно.

Решение первого неравенства

Рассмотрим первое неравенство: $1 - 3x - x^2 \ge -3$.

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратичное неравенство:

$-x^2 - 3x + 1 + 3 \ge 0$

$-x^2 - 3x + 4 \ge 0$

Умножим обе части на $-1$ и сменим знак неравенства на противоположный:

$x^2 + 3x - 4 \le 0$

Для решения найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 3x - 4 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $-3$, а их произведение равно $-4$. Корнями являются $x_1 = -4$ и $x_2 = 1$.

Парабола $y = x^2 + 3x - 4$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому она принимает неположительные значения ($ \le 0$) на отрезке между своими корнями (включая сами корни).

Решением первого неравенства является отрезок $x \in [-4; 1]$.

Решение второго неравенства

Рассмотрим второе неравенство: $1 - 3x - x^2 < \frac{13}{4}$.

Выделим целую часть из дроби: $\frac{13}{4} = 3\frac{1}{4}$. Неравенство примет вид:

$1 - 3x - x^2 < 3\frac{1}{4}$

Перенесем все слагаемые в правую часть:

$0 < x^2 + 3x + 3\frac{1}{4} - 1$

$x^2 + 3x + 2\frac{1}{4} > 0$

Представим смешанное число $2\frac{1}{4}$ в виде неправильной дроби $\frac{9}{4}$:

$x^2 + 3x + \frac{9}{4} > 0$

Левая часть неравенства является полным квадратом суммы. Заметим, что $\frac{9}{4} = (\frac{3}{2})^2$ и $3 = 2 \cdot \frac{3}{2}$.

$(x + \frac{3}{2})^2 > 0$

Выделим целую часть из дроби в скобках: $\frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$.

$(x + 1\frac{1}{2})^2 > 0$

Квадрат любого действительного выражения всегда неотрицателен, то есть $(x + 1\frac{1}{2})^2 \ge 0$. Строгое неравенство выполняется для всех значений $x$, кроме того, при котором основание степени равно нулю.

$x + 1\frac{1}{2} = 0 \implies x = -1\frac{1}{2} = -1,5$.

Решением второго неравенства является вся числовая прямая, кроме точки $x = -1,5$: $x \in (-\infty; -1,5) \cup (-1,5; +\infty)$.

Нахождение общего решения

Общее решение системы является пересечением решений двух неравенств:

$x \in [-4; 1] \cap ((-\infty; -1,5) \cup (-1,5; +\infty))$

Это означает, что из отрезка $[-4; 1]$ необходимо исключить точку $x = -1,5$.

Получаем объединение двух промежутков: $[-4; -1,5) \cup (-1,5; 1]$.

Сравнивая с предложенными вариантами, видим, что это соответствует варианту д).

д) Ответ: $[-4; -1,5) \cup (-1,5; 1]$.