Номер 7, страница 190 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7. Найдите область определения функции $f(x) = \sqrt{x^2 - 6x - 7} - \frac{1}{\sqrt{2-3x}}$.

a) $(-\infty; \frac{2}{3})$;
б) $(-\infty; -1]$;
в) $(-\infty; \frac{2}{3}) \cup [7; +\infty)$;
г) $(-\infty; -1] \cup [7; +\infty)$;
д) $[7; +\infty)$.

Область определения функции $f(x) = \sqrt{x^2 - 6x - 7} - \frac{1}{\sqrt{2 - 3x}}$ — это множество всех значений $x$, при которых функция имеет смысл. Для нахождения этого множества необходимо решить систему неравенств, вытекающих из свойств квадратного корня и деления.

1. Выражение, стоящее под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным. Для первого слагаемого $\sqrt{x^2 - 6x - 7}$ это означает:

$x^2 - 6x - 7 \ge 0$

Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 6x - 7 = 0$. Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = 7$ (поскольку $x_1 + x_2 = -(-6) = 6$ и $x_1 \cdot x_2 = -7$).

Графиком функции $y = x^2 - 6x - 7$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции неотрицательны ($y \ge 0$) при $x$, находящихся за пределами корней, включая сами корни.

Решением первого неравенства является объединение промежутков: $x \in (-\infty; -1] \cup [7; +\infty)$.

2. Выражение, стоящее под знаком корня в знаменателе дроби, должно быть строго положительным, так как корень должен быть из неотрицательного числа, а знаменатель не может быть равен нулю.

$2 - 3x > 0$

Решим это линейное неравенство:

$-3x > -2$

При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$3x < 2$

$x < \frac{2}{3}$

Решением второго неравенства является промежуток: $x \in (-\infty; \frac{2}{3})$.

3. Область определения исходной функции является пересечением решений этих двух неравенств, так как оба условия должны выполняться одновременно:

$\begin{cases} x \in (-\infty; -1] \cup [7; +\infty) \\ x \in (-\infty; \frac{2}{3}) \end{cases}$

Найдем пересечение множеств $(-\infty; -1] \cup [7; +\infty)$ и $(-\infty; \frac{2}{3})$. Поскольку $\frac{2}{3}$ больше, чем $-1$, но меньше, чем $7$, общим для обоих условий является промежуток от $-\infty$ до $-1$ включительно.

Таким образом, область определения функции $D(f)$ есть промежуток $(-\infty; -1]$.

Этот результат совпадает с вариантом ответа б).

б) Ответ: $(-\infty; -1]$