Номер 14, страница 191 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14. Найдите наибольшее целое отрицательное решение неравенства

$(0.3x^2 + 0.5x - 5)^2 \leqslant (0.3x^2 + 0.5x + 5)^2$

Для решения неравенства $(0,3x^2 + 0,5x - 5)^2 \le (0,3x^2 + 0,5x + 5)^2$ воспользуемся методом замены переменной. Пусть $y = 0,3x^2 + 0,5x$. Тогда исходное неравенство принимает вид:

$(y - 5)^2 \le (y + 5)^2$

Перенесем все слагаемые в левую часть и применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(y - 5)^2 - (y + 5)^2 \le 0$

$((y - 5) - (y + 5))((y - 5) + (y + 5)) \le 0$

$(y - 5 - y - 5)(y - 5 + y + 5) \le 0$

$(-10)(2y) \le 0$

$-20y \le 0$

Разделим обе части неравенства на $-20$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$y \ge 0$

Теперь выполним обратную замену, подставив $y = 0,3x^2 + 0,5x$:

$0,3x^2 + 0,5x \ge 0$

Для удобства умножим обе части неравенства на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$3x^2 + 5x \ge 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(3x + 5) \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $x(3x + 5) = 0$:

$x_1 = 0$

$3x_2 + 5 = 0 \implies 3x_2 = -5 \implies x_2 = -\frac{5}{3}$

Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), точки будут закрашенными. Ветви параболы $f(x) = 3x^2 + 5x$ направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен), следовательно, функция принимает неотрицательные значения на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня.

Решением неравенства является объединение промежутков: $x \in (-\infty; -\frac{5}{3}] \cup [0; +\infty)$.

Нам необходимо найти наибольшее целое отрицательное решение. Рассмотрим отрицательную часть решения: $x \in (-\infty; -\frac{5}{3}]$.

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $-\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3}$.

Таким образом, мы ищем целые числа из промежутка $(-\infty; -1\frac{2}{3}]$. Целые числа, которые входят в этот промежуток, это ..., $-4$, $-3$, $-2$. Наибольшим из них является $-2$.

Наибольшее целое отрицательное решение: Ответ: -2