Номер 1.349, страница 114 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.349*. Найдите (в градусах) наименьший положительный и наибольший отрицательный корни уравнения:

a) $ \sin(60^\circ + x) = -1; $

б) $ \cos(30^\circ - 5x) = \frac{\sqrt{2}}{2}; $

в) $ \operatorname{tg}\left(\frac{x}{2} + 45^\circ\right) = \sqrt{3}. $

a) Решим уравнение $ \sin(60^\circ + x) = -1 $.

Это частный случай тригонометрического уравнения. Общее решение для $ \sin(\alpha) = -1 $ имеет вид: $ \alpha = -90^\circ + 360^\circ n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

В нашем случае $ \alpha = 60^\circ + x $. Подставляем и решаем относительно $x$: $ 60^\circ + x = -90^\circ + 360^\circ n $ $ x = -90^\circ - 60^\circ + 360^\circ n $ $ x = -150^\circ + 360^\circ n $

Теперь найдем наименьший положительный и наибольший отрицательный корни, перебирая целочисленные значения $n$.

• Наименьший положительный корень ($x > 0$):
  Для этого должно выполняться неравенство $ -150^\circ + 360^\circ n > 0 $, то есть $ 360^\circ n > 150^\circ $, или $ n > \frac{150}{360} = \frac{5}{12} $. Наименьшее целое $n$, удовлетворяющее этому условию, — это $n=1$. При $n=1$: $ x = -150^\circ + 360^\circ \cdot 1 = 210^\circ $.
• Наибольший отрицательный корень ($x < 0$):
  Для этого должно выполняться неравенство $ -150^\circ + 360^\circ n < 0 $, то есть $ 360^\circ n < 150^\circ $, или $ n < \frac{5}{12} $. Наибольшее целое $n$, удовлетворяющее этому условию, — это $n=0$. При $n=0$: $ x = -150^\circ + 360^\circ \cdot 0 = -150^\circ $.

Ответ: наименьший положительный корень $210^\circ$, наибольший отрицательный корень $-150^\circ$.

б) Решим уравнение $ \cos(30^\circ - 5x) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Общее решение для уравнения $ \cos(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2} $ имеет вид: $ \alpha = \pm 45^\circ + 360^\circ n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

В нашем случае $ \alpha = 30^\circ - 5x $. Это приводит к двум сериям решений:

1. $ 30^\circ - 5x = 45^\circ + 360^\circ n $
   $ -5x = 15^\circ + 360^\circ n $
   $ x = -3^\circ - 72^\circ n $
2. $ 30^\circ - 5x = -45^\circ + 360^\circ n $
   $ -5x = -75^\circ + 360^\circ n $
   $ x = 15^\circ - 72^\circ n $

Теперь найдем требуемые корни для каждой серии.

Для первой серии $ x = -3^\circ - 72^\circ n $:

• Наименьший положительный корень ($x > 0$): при $n=-1$, $ x = -3^\circ - 72^\circ(-1) = 69^\circ $.
• Наибольший отрицательный корень ($x < 0$): при $n=0$, $ x = -3^\circ - 72^\circ(0) = -3^\circ $.

Для второй серии $ x = 15^\circ - 72^\circ n $:

• Наименьший положительный корень ($x > 0$): при $n=0$, $ x = 15^\circ - 72^\circ(0) = 15^\circ $.
• Наибольший отрицательный корень ($x < 0$): при $n=1$, $ x = 15^\circ - 72^\circ(1) = -57^\circ $.

Сравнивая полученные корни, выбираем:

• Наименьший положительный корень из $69^\circ$ и $15^\circ$ это $15^\circ$.
• Наибольший отрицательный корень из $-3^\circ$ и $-57^\circ$ это $-3^\circ$.

Ответ: наименьший положительный корень $15^\circ$, наибольший отрицательный корень $-3^\circ$.

в) Решим уравнение $ \text{tg}(\frac{x}{2} + 45^\circ) = \sqrt{3} $.

Общее решение для уравнения $ \text{tg}(\alpha) = \sqrt{3} $ имеет вид: $ \alpha = 60^\circ + 180^\circ n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

В нашем случае $ \alpha = \frac{x}{2} + 45^\circ $. Подставляем и решаем относительно $x$: $ \frac{x}{2} + 45^\circ = 60^\circ + 180^\circ n $ $ \frac{x}{2} = 60^\circ - 45^\circ + 180^\circ n $ $ \frac{x}{2} = 15^\circ + 180^\circ n $ $ x = 2 \cdot (15^\circ + 180^\circ n) $ $ x = 30^\circ + 360^\circ n $

Теперь найдем наименьший положительный и наибольший отрицательный корни.

• Наименьший положительный корень ($x > 0$):
  При $n=0$: $ x = 30^\circ + 360^\circ \cdot 0 = 30^\circ $.
• Наибольший отрицательный корень ($x < 0$):
  При $n=-1$: $ x = 30^\circ + 360^\circ \cdot (-1) = 30^\circ - 360^\circ = -330^\circ $.

Ответ: наименьший положительный корень $30^\circ$, наибольший отрицательный корень $-330^\circ$.