Номер 1.353, страница 114 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.353. Воспользуйтесь свойством четности (нечетности) тригонометрических функций и решите уравнение:

a) $ \sin(-4x) = -1 $;

б) $ \operatorname{tg}\left(\frac{2\pi}{3} - 3x\right) - \sqrt{3} = 0 $;

в) $ \cos\left(\frac{\pi}{8} - \frac{x}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

а) Исходное уравнение: $ \sin(-4x) = -1 $.
Используем свойство нечетности функции синус: $ \sin(-a) = -\sin(a) $.
$ -\sin(4x) = -1 $
Умножим обе части на -1:
$ \sin(4x) = 1 $
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения, решение которого имеет вид:
$ 4x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Разделим обе части на 4, чтобы найти $ x $:
$ x = \frac{\pi}{8} + \frac{2\pi k}{4} $
$ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2} $
Ответ: $ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

б) Исходное уравнение: $ \text{tg}(\frac{2\pi}{3} - 3x) - \sqrt{3} = 0 $.
Перенесем $ \sqrt{3} $ в правую часть:
$ \text{tg}(\frac{2\pi}{3} - 3x) = \sqrt{3} $
Используем свойство нечетности функции тангенс $ \text{tg}(-a) = -\text{tg}(a) $. Вынесем минус из аргумента:
$ \text{tg}(- (3x - \frac{2\pi}{3})) = \sqrt{3} $
$ -\text{tg}(3x - \frac{2\pi}{3}) = \sqrt{3} $
Умножим обе части на -1:
$ \text{tg}(3x - \frac{2\pi}{3}) = -\sqrt{3} $
Общее решение уравнения $ \text{tg}(y) = a $ имеет вид $ y = \text{arctg}(a) + \pi k $.
$ 3x - \frac{2\pi}{3} = \text{arctg}(-\sqrt{3}) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Так как $ \text{arctg}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3} $, получаем:
$ 3x - \frac{2\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + \pi k $
Выразим $ x $:
$ 3x = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3} + \pi k $
$ 3x = \frac{\pi}{3} + \pi k $
$ x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi k}{3} $
Ответ: $ x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi k}{3} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

в) Исходное уравнение: $ \cos(\frac{\pi}{8} - \frac{x}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Используем свойство четности функции косинус $ \cos(-a) = \cos(a) $, чтобы поменять знаки в аргументе для удобства:
$ \cos(\frac{x}{4} - \frac{\pi}{8}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $
Общее решение для уравнения $ \cos(y) = a $ имеет вид $ y = \pm\arccos(a) + 2\pi k $. В нашем случае:
$ \frac{x}{4} - \frac{\pi}{8} = \pm\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Так как $ \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4} $, получаем:
$ \frac{x}{4} - \frac{\pi}{8} = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi k $
Перенесем $ \frac{\pi}{8} $ в правую часть:
$ \frac{x}{4} = \frac{\pi}{8} \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k $
Рассмотрим два случая:
1) $ \frac{x}{4} = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{\pi + 2\pi}{8} + 2\pi k = \frac{3\pi}{8} + 2\pi k $.
Умножаем на 4: $ x = \frac{12\pi}{8} + 8\pi k = \frac{3\pi}{2} + 8\pi k $.
2) $ \frac{x}{4} = \frac{\pi}{8} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{\pi - 2\pi}{8} + 2\pi k = -\frac{\pi}{8} + 2\pi k $.
Умножаем на 4: $ x = -\frac{4\pi}{8} + 8\pi k = -\frac{\pi}{2} + 8\pi k $.
В первом решении $ x = \frac{3\pi}{2} + 8\pi k $, выделим целую часть из неправильной дроби $ \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} $.
Ответ: $ x_1 = \boldsymbol{1}\frac{1}{2}\pi + 8\pi k $; $ x_2 = -\frac{\pi}{2} + 8\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.