Номер 1.360, страница 115 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.360. Решите двойное неравенство $7x \le x^2 - 8 \le 3x - 4$.

Данное двойное неравенство $7x \le x^2 - 8 \le 3x - 4$ равносильно системе двух неравенств:

$\begin{cases} 7x \le x^2 - 8 \\ x^2 - 8 \le 3x - 4\end{cases}$

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1. Решение первого неравенства $7x \le x^2 - 8$.

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное неравенство:

$x^2 - 7x - 8 \ge 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 7x - 8 = 0$. Для этого вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81$

Корни уравнения равны:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{81}}{2} = \frac{7 - 9}{2} = -1$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{81}}{2} = \frac{7 + 9}{2} = 8$

Графиком функции $y = x^2 - 7x - 8$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Неравенство $x^2 - 7x - 8 \ge 0$ выполняется, когда график параболы находится на оси абсцисс или выше нее. Это происходит на промежутках вне корней.

Следовательно, решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -1] \cup [8, \infty)$.

2. Решение второго неравенства $x^2 - 8 \le 3x - 4$.

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 3x - 8 + 4 \le 0$

$x^2 - 3x - 4 \le 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$

Корни уравнения равны:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{25}}{2} = \frac{3 - 5}{2} = -1$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{3 + 5}{2} = 4$

Ветви параболы $y = x^2 - 3x - 4$ также направлены вверх. Неравенство $x^2 - 3x - 4 \le 0$ выполняется, когда график параболы находится на оси абсцисс или ниже нее. Это происходит на отрезке между корнями.

Следовательно, решение второго неравенства: $x \in [-1, 4]$.

3. Нахождение общего решения.

Решением исходного двойного неравенства является пересечение множеств решений обоих неравенств:

$x \in ((-\infty, -1] \cup [8, \infty)) \cap [-1, 4]$

Найдем общие точки для этих множеств. Пересечение множества $(-\infty, -1] \cup [8, \infty)$ с отрезком $[-1, 4]$ состоит из единственного числа $x = -1$.

Ответ: -1