Номер 1.362, страница 115 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.362. Воспользуйтесь методом замены переменной и решите уравнение

$(x^2 + 3x + 1)(x^2 + 3x + 3) + 1 = 0.$

Для решения данного уравнения $(x^2 + 3x + 1)(x^2 + 3x + 3) + 1 = 0$ воспользуемся методом замены переменной, как указано в условии.

1. Введение новой переменной.
Заметим, что в обеих скобках присутствует общее выражение $x^2 + 3x$. Чтобы упростить уравнение, введем новую переменную. Пусть $t = x^2 + 3x$.

2. Решение уравнения относительно новой переменной.
Подставим $t$ в исходное уравнение:

$(t + 1)(t + 3) + 1 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$t^2 + 3t + t + 3 + 1 = 0$

$t^2 + 4t + 4 = 0$

Полученное уравнение является полным квадратом двучлена $(t+2)$:

$(t + 2)^2 = 0$

Отсюда находим единственное значение для $t$:

$t + 2 = 0 \implies t = -2$

3. Обратная замена и нахождение корней исходного уравнения.
Теперь выполним обратную замену, подставив найденное значение $t = -2$ в выражение для замены:

$x^2 + 3x = -2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 3x + 2 = 0$

Для решения этого уравнения найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=3$, $c=2$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Таким образом, корнями исходного уравнения являются числа -1 и -2.

Ответ: $-2; -1$.