Номер 1.364, страница 115 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.364. Выполните сложение рациональных дробей: $ \frac{x^2 - 4}{2x^2 + 7x + 5} + \frac{1}{x + 1} $

Для выполнения сложения рациональных дробей $\frac{x^2 - 4}{2x^2 + 7x + 5} + \frac{1}{x + 1}$ необходимо сначала привести их к общему знаменателю. Для этого разложим знаменатель первой дроби на множители.

Шаг 1: Разложение знаменателя на множители.

Знаменатель первой дроби представляет собой квадратный трехчлен $2x^2 + 7x + 5$. Чтобы разложить его на множители, найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 + 7x + 5 = 0$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-7 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 3}{4} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2}$

$x_2 = \frac{-7 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

Используя формулу разложения квадратного трехчлена $ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)$, получаем:

$2x^2 + 7x + 5 = 2(x - (-\frac{5}{2}))(x - (-1)) = 2(x + \frac{5}{2})(x + 1) = (2x + 5)(x + 1)$

Шаг 2: Приведение дробей к общему знаменателю.

Теперь исходное выражение можно переписать в виде:

$\frac{x^2 - 4}{(2x + 5)(x + 1)} + \frac{1}{x + 1}$

Наименьшим общим знаменателем для этих дробей является выражение $(2x + 5)(x + 1)$.

Первая дробь уже приведена к этому знаменателю. Для второй дроби дополнительным множителем является $(2x + 5)$. Умножим числитель и знаменатель второй дроби на этот множитель:

$\frac{1 \cdot (2x + 5)}{(x + 1)(2x + 5)} = \frac{2x + 5}{(2x + 5)(x + 1)}$

Шаг 3: Сложение дробей.

Теперь, когда обе дроби имеют одинаковый знаменатель, мы можем сложить их числители:

$\frac{x^2 - 4 + (2x + 5)}{(2x + 5)(x + 1)} = \frac{x^2 - 4 + 2x + 5}{(2x + 5)(x + 1)} = \frac{x^2 + 2x + 1}{(2x + 5)(x + 1)}$

Шаг 4: Упрощение полученной дроби.

Числитель полученной дроби, $x^2 + 2x + 1$, является полным квадратом суммы, который можно свернуть по формуле: $(x + 1)^2$.

Подставим свернутое выражение обратно в дробь:

$\frac{(x + 1)^2}{(2x + 5)(x + 1)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x + 1)$ (при условии, что $x+1 \neq 0$, что выполняется в области определения исходного выражения):

$\frac{(x + 1)(x + 1)}{(2x + 5)(x + 1)} = \frac{x + 1}{2x + 5}$

Ответ: $\frac{x + 1}{2x + 5}$