Номер 1.368, страница 124 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.368. Используйте формулы приведения и приведите к тригонометрической функции угла α:

а) $\sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$;

б) $\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)$;

в) $\operatorname{tg}(\pi + \alpha)$;

г) $\sin(\pi + \alpha)$;

д) $\cos(2\pi + \alpha)$;

е) $\operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)$.

Для решения данной задачи используются формулы приведения. Общее правило заключается в следующем:

1. Определяется знак исходной функции в той координатной четверти, в которой находится угол, если считать угол `$\alpha$` острым.
2. Если в формуле присутствуют углы `$\pi$` или `$2\pi$`, то название функции не меняется. Если же присутствуют углы `$\frac{\pi}{2}$` или `$\frac{3\pi}{2}$`, то название функции меняется на кофункцию (синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот).

а) Рассматриваем выражение `$\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$`. Угол `$\frac{\pi}{2} - \alpha$` находится в I четверти. Знак синуса в I четверти — положительный. Так как в формуле присутствует `$\frac{\pi}{2}$`, функция `$\sin$` меняется на `$\cos$`. В результате получаем: `$\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos(\alpha)$`.
Ответ: $\cos(\alpha)$.

б) Рассматриваем выражение `$\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha)$`. Угол `$\frac{\pi}{2} + \alpha$` находится во II четверти. Знак косинуса во II четверти — отрицательный. Так как в формуле присутствует `$\frac{\pi}{2}$`, функция `$\cos$` меняется на `$\sin$`. В результате получаем: `$\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin(\alpha)$`.
Ответ: $-\sin(\alpha)$.

в) Рассматриваем выражение `$\tg(\pi + \alpha)$`. Угол `$\pi + \alpha$` находится в III четверти. Знак тангенса в III четверти — положительный. Так как в формуле присутствует `$\pi$`, название функции `$\tg$` не меняется. В результате получаем: `$\tg(\pi + \alpha) = \tg(\alpha)$`.
Ответ: $\tg(\alpha)$.

г) Рассматриваем выражение `$\sin(\pi + \alpha)$`. Угол `$\pi + \alpha$` находится в III четверти. Знак синуса в III четверти — отрицательный. Так как в формуле присутствует `$\pi$`, название функции `$\sin$` не меняется. В результате получаем: `$\sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha)$`.
Ответ: $-\sin(\alpha)$.

д) Рассматриваем выражение `$\cos(2\pi + \alpha)$`. Функция косинуса имеет период `$2\pi$`, поэтому `$\cos(2\pi + \alpha) = \cos(\alpha)$`. Если применять общее правило: угол `$2\pi + \alpha$` находится в I четверти. Знак косинуса в I четверти — положительный. Так как в формуле присутствует `$2\pi$`, название функции `$\cos$` не меняется. В результате получаем: `$\cos(2\pi + \alpha) = \cos(\alpha)$`.
Ответ: $\cos(\alpha)$.

е) Рассматриваем выражение `$\ctg(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$`. Угол `$\frac{3\pi}{2} + \alpha$` находится в IV четверти. Знак котангенса в IV четверти — отрицательный. Так как в формуле присутствует `$\frac{3\pi}{2}$`, функция `$\ctg$` меняется на `$\tg$`. В результате получаем: `$\ctg(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\tg(\alpha)$`.
Ответ: $-\tg(\alpha)$.