Номер 1.373, страница 125 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.373. Упростите выражение:

a) $cos(\pi + \alpha) + cos(-\alpha)$;

б) $\frac{\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha)}{\sin(\pi + \alpha)}$;

в) $\operatorname{tg}(\frac{3\pi}{2} - \alpha) \cdot \sin(-\alpha) + \cos(\alpha - 2\pi)$;

г) $\cos^2(\pi + \alpha) + \cos^2(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.

а) Для упрощения выражения $cos(\pi + \alpha) + cos(-\alpha)$ воспользуемся формулами приведения и свойством четности косинуса.

По формуле приведения для косинуса, $cos(\pi + \alpha) = -cos(\alpha)$, так как угол $(\pi + \alpha)$ находится в III четверти (если считать $\alpha$ острым углом), где косинус отрицателен, а при прибавлении $\pi$ название функции не меняется.

Косинус является четной функцией, поэтому $cos(-\alpha) = cos(\alpha)$.

Подставляем упрощенные выражения в исходное:

$cos(\pi + \alpha) + cos(-\alpha) = -cos(\alpha) + cos(\alpha) = 0$.

Ответ: 0.

б) Упростим выражение $\frac{cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha)}{sin(\pi + \alpha)}$.

Сначала упростим числитель, используя формулу приведения. Угол $(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$ находится в IV четверти, где косинус положителен. При прибавлении $\frac{3\pi}{2}$ функция меняется на кофункцию (косинус на синус). Таким образом, $cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = sin(\alpha)$.

Теперь упростим знаменатель. Угол $(\pi + \alpha)$ находится в III четверти, где синус отрицателен. При прибавлении $\pi$ название функции не меняется. Следовательно, $sin(\pi + \alpha) = -sin(\alpha)$.

Подставим полученные выражения в дробь:

$\frac{cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha)}{sin(\pi + \alpha)} = \frac{sin(\alpha)}{-sin(\alpha)} = -1$ (при условии, что $sin(\alpha) \neq 0$).

Ответ: -1.

в) Упростим выражение $tg(\frac{3\pi}{2} - \alpha) \cdot sin(-\alpha) + cos(\alpha - 2\pi)$.

Применим формулы приведения и свойства тригонометрических функций:

1. Для тангенса: угол $(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$ находится в III четверти, где тангенс положителен. При вычитании из $\frac{3\pi}{2}$ функция меняется на кофункцию (тангенс на котангенс). Значит, $tg(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = ctg(\alpha)$.
2. Синус является нечетной функцией: $sin(-\alpha) = -sin(\alpha)$.
3. Косинус является периодической функцией с периодом $2\pi$: $cos(\alpha - 2\pi) = cos(\alpha)$.

Подставим все в исходное выражение:

$ctg(\alpha) \cdot (-sin(\alpha)) + cos(\alpha)$.

Зная, что $ctg(\alpha) = \frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)}$, получаем:

$\frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)} \cdot (-sin(\alpha)) + cos(\alpha) = -cos(\alpha) + cos(\alpha) = 0$ (при условии, что $sin(\alpha) \neq 0$).

Ответ: 0.

г) Упростим выражение $cos^2(\pi + \alpha) + cos^2(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.

Воспользуемся формулами приведения:

1. $cos(\pi + \alpha) = -cos(\alpha)$. Тогда $cos^2(\pi + \alpha) = (-cos(\alpha))^2 = cos^2(\alpha)$.
2. $cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = sin(\alpha)$. Тогда $cos^2(\frac{\pi}{2} - \alpha) = (sin(\alpha))^2 = sin^2(\alpha)$.

Подставляем упрощенные части в выражение:

$cos^2(\alpha) + sin^2(\alpha)$.

Согласно основному тригонометрическому тождеству, $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$.

Таким образом, $cos^2(\pi + \alpha) + cos^2(\frac{\pi}{2} - \alpha) = 1$.

Ответ: 1.