Номер 1.371, страница 124 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.371. Используйте формулы приведения и преобразуйте выражение:

a) $\cos^2 (\pi + \alpha)$;

б) $\sin^2 (90^\circ - \alpha)$;

в) $\cot^2 (\frac{5\pi}{2} - \alpha)$.

a) Для преобразования выражения $cos^2(\pi + \alpha)$ воспользуемся формулами приведения. Формулы приведения позволяют свести тригонометрическую функцию произвольного угла к функции острого угла.
Выражение $cos^2(\pi + \alpha)$ эквивалентно $(cos(\pi + \alpha))^2$.
Рассмотрим $cos(\pi + \alpha)$.
1. Определим четверть: если считать $\alpha$ острым углом, то угол $(\pi + \alpha)$ находится в III четверти.
2. Определим знак исходной функции: косинус в III четверти имеет знак "минус".
3. Определим, меняется ли функция: так как в формуле участвует угол $\pi$ (который находится на горизонтальной оси), название функции не меняется.
Следовательно, $cos(\pi + \alpha) = -cos(\alpha)$.
Теперь возведем результат в квадрат:
$(cos(\pi + \alpha))^2 = (-cos(\alpha))^2 = cos^2(\alpha)$.
Ответ: $cos^2(\alpha)$.

б) Для преобразования выражения $sin^2(90^\circ - \alpha)$ воспользуемся формулами приведения.
Выражение $sin^2(90^\circ - \alpha)$ эквивалентно $(sin(90^\circ - \alpha))^2$.
Рассмотрим $sin(90^\circ - \alpha)$.
1. Определим четверть: если считать $\alpha$ острым углом, то угол $(90^\circ - \alpha)$ находится в I четверти.
2. Определим знак исходной функции: синус в I четверти имеет знак "плюс".
3. Определим, меняется ли функция: так как в формуле участвует угол $90^\circ$ (который находится на вертикальной оси), название функции меняется на кофункцию, то есть синус на косинус.
Следовательно, $sin(90^\circ - \alpha) = cos(\alpha)$.
Теперь возведем результат в квадрат:
$(sin(90^\circ - \alpha))^2 = (cos(\alpha))^2 = cos^2(\alpha)$.
Ответ: $cos^2(\alpha)$.

в) Для преобразования выражения $ctg^2(\frac{5\pi}{2} - \alpha)$ воспользуемся формулами приведения.
Выражение $ctg^2(\frac{5\pi}{2} - \alpha)$ эквивалентно $(ctg(\frac{5\pi}{2} - \alpha))^2$.
Сначала упростим угол, выделив целое число полных оборотов ($2\pi$).
$\frac{5\pi}{2} = \frac{4\pi + \pi}{2} = \frac{4\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}$.
Поскольку тригонометрические функции периодичны с периодом $2\pi$, мы можем отбросить $2\pi$:
$ctg(\frac{5\pi}{2} - \alpha) = ctg(2\pi + \frac{\pi}{2} - \alpha) = ctg(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.
Теперь применим формулу приведения к $ctg(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.
1. Определим четверть: если считать $\alpha$ острым углом, то угол $(\frac{\pi}{2} - \alpha)$ находится в I четверти.
2. Определим знак исходной функции: котангенс в I четверти имеет знак "плюс".
3. Определим, меняется ли функция: так как в формуле участвует угол $\frac{\pi}{2}$ (который находится на вертикальной оси), название функции меняется на кофункцию, то есть котангенс на тангенс.
Следовательно, $ctg(\frac{\pi}{2} - \alpha) = tan(\alpha)$.
Теперь возведем результат в квадрат:
$(ctg(\frac{5\pi}{2} - \alpha))^2 = (tan(\alpha))^2 = tan^2(\alpha)$.
Ответ: $tan^2(\alpha)$.