Номер 1.374, страница 125 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.374. Сравните значения выражений:

$\sin 32^\circ$ и $\cos 58^\circ$;

$\sin 28^\circ$ и $\cos 42^\circ$;

$\operatorname{tg} 44^\circ$ и $\operatorname{ctg} 46^\circ$.

Для сравнения значений выражений воспользуемся формулами приведения, которые связывают тригонометрические функции углов, дополняющих друг друга до $90^\circ$.

Основные формулы, которые нам понадобятся:

• $ \cos(\alpha) = \sin(90^\circ - \alpha) $
• $ \text{ctg}(\alpha) = \text{tg}(90^\circ - \alpha) $

Также будем использовать свойства монотонности (возрастания/убывания) тригонометрических функций в первой четверти (для углов от $0^\circ$ до $90^\circ$):

• Функция $y = \sin(x)$ является возрастающей. Это означает, что большему углу соответствует большее значение синуса.

а) Сравнить $ \sin 32^\circ $ и $ \cos 58^\circ $.

Воспользуемся формулой приведения для косинуса, чтобы выразить $ \cos 58^\circ $ через синус:

$ \cos 58^\circ = \sin(90^\circ - 58^\circ) = \sin 32^\circ $

Теперь сравнение сводится к сравнению $ \sin 32^\circ $ и $ \sin 32^\circ $. Очевидно, что эти значения равны.

Ответ: $ \sin 32^\circ = \cos 58^\circ $.

б) Сравнить $ \sin 28^\circ $ и $ \cos 42^\circ $.

Приведем $ \cos 42^\circ $ к синусу, используя ту же формулу:

$ \cos 42^\circ = \sin(90^\circ - 42^\circ) = \sin 48^\circ $

Теперь нам нужно сравнить $ \sin 28^\circ $ и $ \sin 48^\circ $.

В первой четверти (от $0^\circ$ до $90^\circ$) функция синуса возрастает. Поскольку $ 28^\circ < 48^\circ $, то и значения их синусов соотносятся так же:

$ \sin 28^\circ < \sin 48^\circ $

Следовательно, исходные выражения находятся в таком же соотношении.

Ответ: $ \sin 28^\circ < \cos 42^\circ $.

в) Сравнить $ \text{tg} 44^\circ $ и $ \text{ctg} 46^\circ $.

Воспользуемся формулой приведения для котангенса, чтобы выразить $ \text{ctg} 46^\circ $ через тангенс:

$ \text{ctg} 46^\circ = \text{tg}(90^\circ - 46^\circ) = \text{tg} 44^\circ $

Сравниваем $ \text{tg} 44^\circ $ с полученным значением $ \text{tg} 44^\circ $. Они равны.

Ответ: $ \text{tg} 44^\circ = \text{ctg} 46^\circ $.