Номер 1.380, страница 126 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.380. Для функции $f(x) = 3\cos 4x + 1$ найдите:

а) $f\left(\frac{\pi}{3}\right);$

б) $f\left(-\frac{5\pi}{16}\right).$

Дана функция $f(x) = 3\cos4x + 1$.

a) Найдем значение функции в точке $x = \frac{\pi}{3}$.
Для этого подставим значение $x$ в выражение для функции:
$f(\frac{\pi}{3}) = 3\cos(4 \cdot \frac{\pi}{3}) + 1 = 3\cos(\frac{4\pi}{3}) + 1$.
Чтобы найти значение $\cos(\frac{4\pi}{3})$, воспользуемся формулой приведения $\cos(\pi + \alpha) = -\cos(\alpha)$:
$\cos(\frac{4\pi}{3}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3})$.
Поскольку табличное значение $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, получаем:
$\cos(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.
Теперь подставим это значение обратно в функцию:
$f(\frac{\pi}{3}) = 3 \cdot (-\frac{1}{2}) + 1 = -\frac{3}{2} + 1$.
Дробь $-\frac{3}{2}$ является неправильной. Выделим из нее целую часть: $-\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2}$.
Завершим вычисление:
$f(\frac{\pi}{3}) = -1\frac{1}{2} + 1 = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

б) Найдем значение функции в точке $x = -\frac{5\pi}{16}$.
Подставим значение $x$ в выражение для функции:
$f(-\frac{5\pi}{16}) = 3\cos(4 \cdot (-\frac{5\pi}{16})) + 1 = 3\cos(-\frac{20\pi}{16}) + 1 = 3\cos(-\frac{5\pi}{4}) + 1$.
Функция косинус является четной, то есть $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$. Поэтому:
$f(-\frac{5\pi}{16}) = 3\cos(\frac{5\pi}{4}) + 1$.
Чтобы найти значение $\cos(\frac{5\pi}{4})$, воспользуемся формулой приведения $\cos(\pi + \alpha) = -\cos(\alpha)$:
$\cos(\frac{5\pi}{4}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4})$.
Поскольку табличное значение $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:
$\cos(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Теперь подставим это значение обратно в функцию:
$f(-\frac{5\pi}{16}) = 3 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 = -\frac{3\sqrt{2}}{2} + 1 = 1 - \frac{3\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $1 - \frac{3\sqrt{2}}{2}$.