Номер 1.386, страница 126 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.386. Приведите к тригонометрической функции угла $\alpha$ выражение:

а) $\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$;

б) $\sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)$;

в) $\operatorname{ctg}(\pi + \alpha)$;

г) $\cos(\pi + \alpha)$;

д) $\sin(2\pi + \alpha)$;

е) $\operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)$.

Для приведения выражений к тригонометрической функции угла $ \alpha $ используются формулы приведения. Общее правило заключается в следующем:

1. Определяется знак исходной функции. Для этого предполагается, что угол $ \alpha $ — острый, и определяется, в какой четверти находится весь угол выражения. Знак результата будет таким же, как знак исходной функции в этой четверти.
2. Определяется, меняется ли функция на кофункцию (синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот). Если в выражении содержатся углы $ \pi $ или $ 2\pi $, функция не меняется. Если содержатся углы $ \frac{\pi}{2} $ или $ \frac{3\pi}{2} $, функция меняется на кофункцию.

а) Рассматриваем выражение $ \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) $.
1. Угол $ \frac{\pi}{2} - \alpha $ находится в I четверти.
2. Косинус в I четверти положителен (+).
3. Так как в формуле присутствует $ \frac{\pi}{2} $, функция $ \cos $ меняется на кофункцию $ \sin $.
Следовательно, $ \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin(\alpha) $.
Ответ: $ \sin(\alpha) $

б) Рассматриваем выражение $ \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) $.
1. Угол $ \frac{\pi}{2} + \alpha $ находится во II четверти.
2. Синус во II четверти положителен (+).
3. Так как в формуле присутствует $ \frac{\pi}{2} $, функция $ \sin $ меняется на кофункцию $ \cos $.
Следовательно, $ \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos(\alpha) $.
Ответ: $ \cos(\alpha) $

в) Рассматриваем выражение $ \text{ctg}(\pi + \alpha) $.
1. Угол $ \pi + \alpha $ находится в III четверти.
2. Котангенс в III четверти положителен (+).
3. Так как в формуле присутствует $ \pi $, функция $ \text{ctg} $ не меняется.
Следовательно, $ \text{ctg}(\pi + \alpha) = \text{ctg}(\alpha) $.
Ответ: $ \text{ctg}(\alpha) $

г) Рассматриваем выражение $ \cos(\pi + \alpha) $.
1. Угол $ \pi + \alpha $ находится в III четверти.
2. Косинус в III четверти отрицателен (-).
3. Так как в формуле присутствует $ \pi $, функция $ \cos $ не меняется.
Следовательно, $ \cos(\pi + \alpha) = -\cos(\alpha) $.
Ответ: $ -\cos(\alpha) $

д) Рассматриваем выражение $ \sin(2\pi + \alpha) $.
Функция синус является периодической с периодом $ 2\pi $. Это означает, что $ \sin(x + 2\pi) = \sin(x) $ для любого угла $ x $.
Применяя это свойство, получаем: $ \sin(2\pi + \alpha) = \sin(\alpha) $.
Ответ: $ \sin(\alpha) $

е) Рассматриваем выражение $ \text{tg}(\frac{3\pi}{2} + \alpha) $.
1. Угол $ \frac{3\pi}{2} + \alpha $ находится в IV четверти.
2. Тангенс в IV четверти отрицателен (-).
3. Так как в формуле присутствует $ \frac{3\pi}{2} $, функция $ \text{tg} $ меняется на кофункцию $ \text{ctg} $.
Следовательно, $ \text{tg}(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\text{ctg}(\alpha) $.
Ответ: $ -\text{ctg}(\alpha) $