Номер 1.391, страница 127 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.391. Упростите выражение:

a) $\sin(270^{\circ} - \alpha) - \cos(180^{\circ} + \alpha);$

б) $\operatorname{tg}(270^{\circ} - \alpha) \sin(180^{\circ} - \alpha) + \cos(180^{\circ} + \alpha).$

Для упрощения данных выражений воспользуемся формулами приведения. Формулы приведения позволяют сводить тригонометрические функции произвольного угла к функциям острого угла.

Общее правило для формул приведения:

1. Если в формуле содержатся углы $180^{\circ}$ (или $\pi$) и $360^{\circ}$ (или $2\pi$), то название тригонометрической функции не меняется.
2. Если в формуле содержатся углы $90^{\circ}$ (или $\frac{\pi}{2}$) и $270^{\circ}$ (или $\frac{3\pi}{2}$), то название тригонометрической функции меняется на "ко-функцию" (синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс).
3. Знак перед полученной функцией определяется по знаку исходной функции в той четверти, в которой находится угол, если считать угол $\alpha$ острым.

a) Рассмотрим выражение $sin(270^{\circ} - \alpha) - cos(180^{\circ} + \alpha)$.

1. Упростим $sin(270^{\circ} - \alpha)$:

• Так как угол равен $270^{\circ}$, функция $sin$ меняется на $cos$.
• Угол $270^{\circ} - \alpha$ находится в III четверти, где синус отрицателен.
• Следовательно, $sin(270^{\circ} - \alpha) = -cos(\alpha)$.

2. Упростим $cos(180^{\circ} + \alpha)$:

• Так как угол равен $180^{\circ}$, функция $cos$ не меняется.
• Угол $180^{\circ} + \alpha$ находится в III четверти, где косинус отрицателен.
• Следовательно, $cos(180^{\circ} + \alpha) = -cos(\alpha)$.

3. Подставим упрощенные выражения в исходное:

$sin(270^{\circ} - \alpha) - cos(180^{\circ} + \alpha) = (-cos(\alpha)) - (-cos(\alpha)) = -cos(\alpha) + cos(\alpha) = 0$.

Ответ: 0

б) Рассмотрим выражение $tg(270^{\circ} - \alpha) sin(180^{\circ} - \alpha) + cos(180^{\circ} + \alpha)$.

1. Упростим $tg(270^{\circ} - \alpha)$:

• Так как угол равен $270^{\circ}$, функция $tg$ меняется на $ctg$.
• Угол $270^{\circ} - \alpha$ находится в III четверти, где тангенс положителен.
• Следовательно, $tg(270^{\circ} - \alpha) = ctg(\alpha)$.

2. Упростим $sin(180^{\circ} - \alpha)$:

• Так как угол равен $180^{\circ}$, функция $sin$ не меняется.
• Угол $180^{\circ} - \alpha$ находится во II четверти, где синус положителен.
• Следовательно, $sin(180^{\circ} - \alpha) = sin(\alpha)$.

3. Упростим $cos(180^{\circ} + \alpha)$ (как в пункте а):

• $cos(180^{\circ} + \alpha) = -cos(\alpha)$.

4. Подставим упрощенные выражения в исходное:

$tg(270^{\circ} - \alpha) sin(180^{\circ} - \alpha) + cos(180^{\circ} + \alpha) = ctg(\alpha) \cdot sin(\alpha) + (-cos(\alpha))$.

Зная, что $ctg(\alpha) = \frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)}$, получим:

$\frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)} \cdot sin(\alpha) - cos(\alpha) = cos(\alpha) - cos(\alpha) = 0$.

Ответ: 0